Каков объем куба с диагональю [tex] sqrt{75} [/tex]?

Для того чтобы рассчитать объем куба, нам сначала необходимо знать одну сторону этого куба. В данной задаче мы имеем диагональ куба, поэтому нам нужно определить длину стороны, чтобы вычислить объем.

Для начала, мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину стороны куба. В данной задаче диагональ куба равна [tex]\sqrt{75}[/tex]. По теореме Пифагора, в прямоугольном треугольнике диагональ D, катеты сторон куба a, b и c связаны следующим образом: [tex]D^2 = a^2 + b^2 + c^2[/tex].

Так как у нас куб, все стороны равны друг другу. То есть, пусть сторона куба будет равна s. Тогда мы можем записать уравнение в следующем виде: [tex]\sqrt{75} = \sqrt{s^2 + s^2 + s^2}[/tex].

Упрощая это уравнение, получаем: [tex]\sqrt{75} = \sqrt{3s^2}[/tex].

Далее, избавимся от квадратного корня на обеих сторонах уравнения: [tex]\sqrt{75}^2 = \sqrt{3s^2}^2[/tex].

В результате получаем: [tex]75 = 3s^2[/tex].

Теперь мы можем найти длину стороны куба s, разделив обе части уравнения на 3: [tex]s^2 = \frac {75}{3}[/tex].

И далее, найдем значение длины стороны s, извлекая квадратный корень из обоих частей уравнения: [tex]s = \sqrt{\frac {75}{3}}[/tex].

Упрощая этот корень, получаем: [tex]s = 5\sqrt{3}[/tex].

Теперь, когда мы знаем длину стороны куба, мы можем найти его объем. Объем куба вычисляется по формуле [tex]V = s^3[/tex], где s - длина стороны. Подставляем значение длины стороны, которое мы только что нашли: [tex]V = (5\sqrt{3})^3[/tex].

Возводя в куб значит повторить значение три раза: [tex]V = 5^3 \cdot (\sqrt{3})^3[/tex].

Упрощая это выражение, получаем: [tex]V = 125 \cdot \sqrt{3^3}[/tex].

Вычисляем значение внутри корня: [tex]V = 125 \cdot \sqrt{27}[/tex].

И, наконец, вычисляем корень [tex]\sqrt{27}[/tex], который равен 3, так как 3 * 3 = 27: [tex]V = 125 \cdot 3[/tex].

Вычисляем значение: [tex]V = 375[/tex].

Поэтому, объем куба с диагональю [tex]\sqrt{75}[/tex] равен 375.