Каков объем конуса, если плоскость, параллельная основанию, делит его высоту в отношении 1 : 2, и объем отсеченного

Для того чтобы найти объем конуса, необходимо знать его высоту и радиус основания. В данной задаче уже дана информация о высоте, однако радиус нам неизвестен.

Мы можем решить задачу, используя подобие фигур. Представим себе, что весь конус разделяется плоскостью на две части - верхнюю и нижнюю. При этом, объем отсеченной верхней части конуса равен объему всего конуса.

Теперь, когда у нас есть подобные фигуры, мы можем использовать их сходство для поиска соотношения между объемами и размерами фигур.

Обозначим объем всего конуса как \(V_1\), радиус основания как \(R_1\), высоту как \(H_1\), а объем отсеченного конуса (верхней части) как \(V_2\), радиус основания этой части как \(R_2\) и высоту как \(H_2\).

Согласно условию задачи, плоскость делит высоту конуса в отношении 1:2. Это означает, что \(H_2 = \frac{1}{3}H_1\).

Также, в условии сказано, что объем отсеченного конуса равен искомому объему, то есть \(V_2 = V_1\).

Мы можем записать формулу для объема конуса: \(V = \frac{1}{3}\pi R^2 H\).

Теперь мы можем использовать информацию из условия задачи, чтобы записать соотношения для объемов и размеров фигур:

\[
\frac{1}{3}\pi R_1^2 H_1 = \frac{1}{3}\pi R_2^2 H_2
\]

Теперь подставим \(H_2\) из условия задачи:

\[
\frac{1}{3}\pi R_1^2 H_1 = \frac{1}{3}\pi R_2^2 \left(\frac{1}{3}H_1\right)
\]

Упростим уравнение, умножив обе части на 3:

\[
\pi R_1^2 H_1 = \pi R_2^2 \left(\frac{1}{3}H_1\right)
\]

Теперь, сократим \(\pi\) и \(H_1\) с обеих сторон:

\[
R_1^2 = \frac{1}{3} R_2^2
\]

Возведем обе части уравнения в квадрат:

\[
R_1^4 = \frac{1}{9} R_2^4
\]

Теперь можно найти соотношение между радиусами:

\[
R_1^2 = \frac{1}{3} R_2^2
\]

\[
R_1 = \frac{1}{\sqrt{3}} R_2
\]

Теперь мы знаем, что радиусы оснований имеют такое соотношение. Остается только подставить это соотношение в формулу объема конуса и найти искомый объем:

\[
V_1 = \frac{1}{3}\pi R_1^2 H_1 = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{1}{\sqrt{3}} R_2\right)^2 H_1
\]

\[
V_1 = \frac{1}{3}\pi \frac{1}{3}R_2^2 H_1
\]

\[
V_1 = \frac{1}{9}\pi R_2^2 H_1
\]

Теперь мы можем сделать вывод, что объем конуса равен \(\frac{1}{9}\) от объема отсеченного конуса.

Надеюсь, этот подробный ответ поможет вам понять задачу и способ ее решения.