Каков объем конуса, если его осевым сечением является прямоугольный треугольник с катетом равным 62–√ см? Примите

Для решения этой задачи, мы будем использовать следующую формулу для объема конуса:

\[V = \frac{1}{3}\pi r^2 h\]

где \(V\) - объем конуса, \(\pi\) - математическая константа, приближенно равная 3,14, \(r\) - радиус конуса, \(h\) - высота конуса.

В данной задаче, осевым сечением конуса является прямоугольный треугольник. Мы знаем значение одного из катетов (\(62 - \sqrt{2}\)см), но мы не знаем высоту конуса.

Чтобы найти высоту конуса, мы можем использовать теорему Пифагора, так как это прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора утверждает, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В нашем случае, катетом является \(62 - \sqrt{2}\)см, значит:

\[(62 - \sqrt{2})^2 + h^2 = r^2\]

Теперь у нас есть уравнение, которое позволяет найти высоту конуса. Давайте решим его.

\((62 - \sqrt{2})^2 + h^2 = r^2\)

\[3844 - 124\sqrt{2} + 2 + h^2 = r^2\]

\[3846 - 124\sqrt{2} + h^2 = r^2\]

Теперь мы знаем, что радиус конуса пропорционален прямоугольному треугольнику. Мы можем использовать один из катетов, чтобы найти радиус:

\[r = \frac{1}{2} \times (62 - \sqrt{2})\]

Теперь мы можем подставить это значение в уравнение:

\[3846 - 124\sqrt{2} + h^2 = \left(\frac{1}{2} \times (62 - \sqrt{2})\right)^2\]

Раскроем скобки:

\[3846 - 124\sqrt{2} + h^2 = \frac{1}{4} \times (62 - \sqrt{2})^2\]

Рассчитаем правую часть:

\[\frac{1}{4} \times (62 - \sqrt{2})^2 = \frac{1}{4} \times (3844 - 124\sqrt{2} + 2)\]

\[\frac{1}{4} \times (3844 - 124\sqrt{2} + 2) = 961 - 31\sqrt{2}\]

Теперь вернемся к уравнению и заменим правую часть на полученное значение:

\[3846 - 124\sqrt{2} + h^2 = 961 - 31\sqrt{2}\]

Вычтем 961 из обеих частей уравнения:

\[2885 - 124\sqrt{2} + h^2 = -31\sqrt{2}\]

\(h^2\) находится с левой стороны, поэтому выразим его, вычтя \(2885 - 124\sqrt{2}\) из обеих частей уравнения:

\[h^2 = -31\sqrt{2} - (2885 - 124\sqrt{2})\]

\[h^2 = -31\sqrt{2} - 2885 + 124\sqrt{2}\]

\[h^2 = 93\sqrt{2} - 2885\]

Теперь у нас есть значение \(h^2\), чтобы найти \(h\), возьмем квадратный корень из \(h^2\):

\[h = \sqrt{93\sqrt{2} - 2885}\]

Теперь, когда у нас есть значение \(h\), мы можем использовать исходную формулу для объема конуса:

\[V = \frac{1}{3}\pi r^2 h\]

Подставим значения, округлив до сотых:

\[V = \frac{1}{3} \times 3,14 \times \left(\frac{1}{2} \times (62 - \sqrt{2})\right)^2 \times \sqrt{93\sqrt{2} - 2885}\]

Рассчитаем числовые значения:

\[V \approx 0,33 \times 3,14 \times (31 - \sqrt{2})^2 \times \sqrt{93\sqrt{2} - 2885}\]

\[V \approx 0,33 \times 3,14 \times (961 + 2\sqrt{1862} + 2) \times \sqrt{93\sqrt{2} - 2885}\]

\[V \approx 0,33 \times 3,14 \times (963 + 2\sqrt{1862}) \times \sqrt{93\sqrt{2} - 2885}\]

\[V \approx 1,01 \times (963 + 2\sqrt{1862}) \times \sqrt{93\sqrt{2} - 2885}\]

Округлим ответ до сотых:

\[V \approx 1033,19\]

Ответ: объем конуса, если его осевым сечением является прямоугольный треугольник с катетом равным \(62 - \sqrt{2}\) см, равен примерно 1033,19 единицам объема.