Каков объем исходного конуса, если отсекаемый от него конус имеет объем 8 и плоскость параллельна основанию, проходящей

Хорошо, решим данную задачу. Пусть \(V\) - объем исходного конуса, а \(V_1\) - объем отсекаемого конуса.
Из условия задачи известно, что \(V_1 = 8\).
Также, известно, что плоскость, отсекающая конус, параллельна основанию конуса. Это означает, что и высота и радиус основания отсекаемого конуса будут в том же соотношении, что и соответствующие величины у исходного конуса.

По условию, точка, разделяющая высоту конуса в соотношении 1:4 от вершины, будет находиться на высоте \(h_1 = \frac{1}{5}h\) от вершины и на основании \(r_1 = \frac{1}{5}r\).

Зная, что объем конуса можно выразить через формулу \(V = \frac{1}{3}\pi r^2 h\), мы можем записать следующее:
\[\frac{1}{3}\pi r^2 h = V\]
\[\frac{1}{3}\pi \left(\frac{1}{5}r\right)^2 \left(\frac{1}{5}h\right) = V_1\]

Мы можем упростить второе уравнение:
\[\frac{1}{3}\pi \left(\frac{1}{5}r\right)^2 \left(\frac{1}{5}h\right) = 8\]
\[\frac{1}{3}\pi \frac{r^2}{25} \frac{h}{25} = 8\]
\[\pi \frac{r^2}{375} h = 8\]

Теперь мы можем решить данное уравнение относительно объема исходного конуса \(V\):
\[\frac{1}{3}\pi r^2 h = V\]
\[V = \frac{1}{3}\pi r^2 h\]
\[V = \frac{3}{375}\pi r^2 h\]
\[V = \frac{1}{125}\pi r^2 h\]

Таким образом, объем исходного конуса равен \(\frac{1}{125}\pi r^2 h\).

Пожалуйста, обратите внимание, что при решении данной задачи я использовал указанные формулы и соотношение размеров между исходным и отсекаемым конусами. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их.