Каков объем фигуры, полученной вращением треугольника ABC вокруг оси ординат, если в системе координат заданы следующие

Для решения данной задачи, нам необходимо воспользоваться формулой для вычисления объема тела, полученного вращением фигуры вокруг оси ординат, которая имеет вид:

\[V = \pi \int_{a}^{b} (f(x))^2 \, dx\]

где \(f(x)\) - функция, описывающая границы фигуры, \(a\) и \(b\) - границы интервала, по которому происходит вращение, а \(\pi\) - математическая константа, примерно равная 3.14159.

Итак, в нашем случае треугольник ABC задан следующими точками: A(1;2,7), B(6;2,7), C(1;14,7). Для начала, построим график данного треугольника:

\[
\begin{array}{cccccccccccccccccc}
& & & & & C \\
& & & & / & \\
& & & P & & & B \\
& & & | & & / \\
& & & | & / \\
& & A & \\
\end{array}
\]

Мы видим, что ось ординат проходит через точку A(1;2,7). Значит, границы интервала интегрирования составляют 2,7 и 14,7, так как все точки треугольника лежат на отрезке между этими значениями у-координат.

Чтобы продолжить рассчет, нам необходимо узнать функцию, описывающую границы нашей фигуры. Для этого, обратимся к точкам A и C и найдем уравнение прямой, проходящей через них.

Найдем угловой коэффициент \(k\) этой прямой:

\[k = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}} = \frac{{14,7 - 2,7}}{{1 - 1}} = \frac{{12}}{{0}}\]

Мы видим, что знаменатель равен нулю, следовательно, угловой коэффициент здесь неопределен.

Это означает, что границей фигуры будет криволинейная линия, а не прямая. Для нашего расчета, нам потребуется уравнение этой кривой. Чтобы его получить, найдем уравнения прямых, проходящих через точку A и C, и подставим их в уравнение общей формы прямой.

Прямая, проходящая через точку A(1;2,7), будет иметь вид:

\[y - y_1 = k_1(x - x_1)\]

где \(k_1\) - угловой коэффициент этой прямой. Подставляя значения, получаем:

\[y - 2,7 = k_1(x - 1)\]

Аналогично, прямая, проходящая через точку C(1;14,7), будет иметь вид:

\[y - y_2 = k_2(x - x_2)\]

Подставляя значения, получаем:

\[y - 14,7 = k_2(x - 1)\]

Теперь, найдем уравнение кривой, описывающей границу фигуры. Для этого, вычтем из второго уравнения первое:

\[y - 14,7 - (y - 2,7) = k_2(x - 1) - k_1(x - 1)\]

\[y - 14,7 - y + 2,7 = (k_2 - k_1)(x - 1)\]

\[12 = (k_2 - k_1)(x - 1)\]

Мы знаем, что \(k_2 - k_1\) - это угловой коэффициент кривой, описывающей границу фигуры. Заметим, что этот угловой коэффициент будет выражаться через x и y. Подставляя \(k_2 - k_1 = \frac{{12}}{{x - 1}}\), мы можем решить это уравнение относительно y:

\[y - 17,4 = \frac{{12}}{{x - 1}} \cdot (x - 1)\]

\[y - 17,4 = 12\]

\[y = 29,4\]

Теперь у нас есть уравнение кривой границы нашей фигуры: \(y = 29,4\).

Мы можем рассчитать объем фигуры, использовав формулу выше:

\[V = \pi \int_{2,7}^{14,7} (29,4)^2 \, dx\]

После выполнения этого интеграла, мы получим значение объема фигуры, полученной вращением треугольника ABC вокруг оси ординат.

Пожалуйста, обратите внимание, что данный подробный расчет выполнен для того, чтобы понять процесс решения задачи и объяснить его школьнику в максимально понятной форме. За более точными численными значениями объема фигуры, вам следует обратиться к математическим программам или использовать численное приближение при выполнении интеграла.