Каков объем цилиндра, у которого осевое сечение представляет собой квадрат, диагональ которого равна 6 корня

Чтобы решить эту задачу, давайте начнем с определения основных характеристик цилиндра. Цилиндр имеет две основания, которые являются кругами, и боковую поверхность, которая представляет собой образующую прямую линию, соединяющую основания. Для нашей задачи нам дано, что осевое сечение цилиндра представляет собой квадрат, диагональ которого равна 6 корня из некоторого значения. Давайте обозначим это значение как \(x\).

Поскольку диагональ квадрата равна 6 корня из \(x\), мы можем использовать свойства квадратов и прямоугольников, чтобы найти сторону квадрата. Зная, что диагональ квадрата делит его на два прямоугольных треугольника, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины стороны квадрата:

\[
(\text{{сторона}})^2 + (\text{{сторона}})^2 = (\text{{диагональ}})^2
\]

\[
2(\text{{сторона}})^2 = (\text{{диагональ}})^2
\]

\[
(\text{{сторона}})^2 = \frac{{(\text{{диагональ}})^2}}{{2}}
\]

\[
\text{{сторона}} = \sqrt{\frac{{(\text{{диагональ}})^2}}{{2}}}
\]

Подставляя данное нам значение диагонали, получим:

\[
\text{{сторона}} = \sqrt{\frac{{(6\sqrt{x})^2}}{{2}}} = \sqrt{\frac{{36x}}{{2}}} = \sqrt{18x} = 3\sqrt{2x}
\]

Теперь, чтобы найти объем цилиндра, нам нужно учесть расстояние между двумя основаниями цилиндра, которое равно длине стороны квадрата.

Объем цилиндра можно найти, используя формулу \(V = \pi r^2 h\), где \(r\) – радиус основания, а \(h\) – высота цилиндра. В нашем случае, радиус будет равен половине длины стороны квадрата, то есть \(\frac{{3\sqrt{2x}}}{2}\), а высота цилиндра будет равна длине стороны квадрата, то есть \(3\sqrt{2x}\).

Таким образом, объем цилиндра будет:

\[
V = \pi(\frac{{3\sqrt{2x}}}{2})^2(3\sqrt{2x}) = \pi\frac{{9(2x)}}{4}\cdot3\sqrt{2x} = \pi\frac{{27\sqrt{2x^3}}}{4}
\]

Ответ: Объем цилиндра равен \(\pi\frac{{27\sqrt{2x^3}}}{4}\)