Каков объем четырехугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной - центр куба, если объем куба

Чтобы решить эту задачу, нам нужно вычислить объем четырехугольной пирамиды с основанием в форме квадрата, а вершиной в центре этого куба.

Для начала, давайте определимся с формулой для вычисления объема пирамиды. Объем пирамиды можно вычислить, умножив площадь основания пирамиды на высоту и разделив результат на 3.

Так как основание пирамиды является гранью куба, можно сказать, что площадь основания равна квадрату длины стороны грани.

Обозначим длину стороны грани куба как \(a\). Тогда площадь основания пирамиды будет равна \(a^2\).

Теперь нам нужно найти высоту пирамиды. Высота пирамиды - это расстояние от вершины пирамиды до плоскости, в которой лежит основание.

Заметим, что вершина пирамиды совпадает с центром куба. Так как куб имеет ребро, соединяющее его центр с улогом, а также улог и две смежные грани. Значит, высота пирамиды равна половине длины ребра куба.

Используя эти данные, мы можем вычислить объем пирамиды:

\[
V_{\text{пирамиды}} = \frac{{S_{\text{основания}} \times h}}{3}
\]

где
\(V_{\text{пирамиды}}\) - объем пирамиды,
\(S_{\text{основания}}\) - площадь основания пирамиды,
\(h\) - высота пирамиды.

Вспомним, что площадь основания пирамиды равна площади грани куба, а высота пирамиды равна половине длины ребра куба.

Это означает, что мы можем переписать формулу для объема пирамиды следующим образом:

\[
V_{\text{пирамиды}} = \frac{{a^2 \times \frac{{a}}{2}}}{3}
\]

Подставим значение длины стороны куба, предоставленное в задаче (\(a = \sqrt{102}\)):

\[
V_{\text{пирамиды}} = \frac{{(\sqrt{102})^2 \times \frac{{\sqrt{102}}}{2}}}{3}
\]

После вычисления этого выражения, мы получим значение объема пирамиды.