Каков объем части конуса, ограниченной плоскостью, параллельной основанию и проходящей через точку, делящую высоту

Для решения данной задачи о объеме части конуса, ограниченной плоскостью, параллельной основанию и проходящей через точку, делящую высоту конуса в отношении 1:4, нам понадобится использовать формулу для объема усеченного конуса.

Объем усеченного конуса можно найти по формуле:

\[V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + r^2 + Rr),\]

где:
\(V\) - объем усеченного конуса,
\(h\) - высота усеченного конуса (в данном случае это высота исходного конуса),
\(R\) - радиус основания бОльшего конуса,
\(r\) - радиус основания меньшего конуса.

Дано, что точка делит высоту конуса в отношении 1:4. Пусть \(H\) - полная высота конуса, \(H_1\) - высота бОльшего конуса, а \(H_2\) - высота меньшего конуса. Тогда:

1. \(H_1 = \frac{4}{5} H\),
2. \(H_2 = \frac{1}{5} H\).

Теперь нам нужно найти радиусы оснований бОльшего и меньшего конусов. Поскольку плоскость параллельна основанию конуса, подобные треугольники задачи будут подобными. Из подобия треугольников можно сделать вывод, что отношение радиусов оснований к высоте конуса и к высоте усечения равно.

3. Таким образом, \(\frac{r}{H_2} = \frac{R}{H_1}\).

Теперь, зная все отношения, можно решить систему уравнений, чтобы найти радиусы оснований \(r\) и \(R\), и подставить их в формулу для объема усеченного конуса, чтобы вычислить итоговый ответ.

Надеюсь, что данное объяснение поможет вам понять, как решить данную задачу.