Каков момент силы тяжести относительно точки О в маятнике, состоящем из двух однородных стержней длиной l и массой

Для решения этой задачи нам понадобятся некоторые физические законы, связанные с моментом силы и угловым ускорением.

Момент силы тяжести относительно точки \(O\) может быть найден, используя формулу момента силы:
\[ M = F \cdot d, \]
где \( F \) - сила, действующая на массу, и \( d \) - расстояние от точки \( O \) до линии действия силы.

Для нахождения силы тяжести, действующей на массу, мы можем использовать известное уравнение:
\[ F = m \cdot g, \]
где \( m \) - масса маятника и \( g \) - ускорение свободного падения.

В данном случае, когда маятник отклонен на 90° от положения равновесия, мы можем разделить его на две составляющие: горизонтальную и вертикальную. Масса маятника распределяется равномерно по обоим стержням, поэтому половина массы маятника распределена на каждый стержень (масса одного стержня будет \( \frac{m}{2} \)).

Рассмотрим вертикальную составляющую. Вертикальная сила тяжести действует на центр масс каждого стержня и направлена вертикально вниз. Расстояние от точки \( O \) до линии действия силы равно длине стержня \( l \).

Теперь посчитаем момент силы относительно точки \( O \), созданный каждым стержнем. Момент силы первого стержня равен:
\[ M_1 = (m \cdot g) \cdot l. \]
Момент силы второго стержня равен:
\[ M_2 = (\frac{m}{2} \cdot g) \cdot \frac{l}{2}. \]
Общий момент силы тяжести от двух стержней будет суммой моментов каждого стержня:
\[ M = M_1 + M_2. \]
Подставив значения, получим:
\[ M = (m \cdot g) \cdot l + (\frac{m}{2} \cdot g) \cdot \frac{l}{2}. \]
Упростим это уравнение:
\[ M = m \cdot g \cdot l + \frac{m}{4} \cdot g \cdot l. \]
Общий момент силы равен:
\[ M = \frac{5}{4} \cdot m \cdot g \cdot l. \]

Теперь рассмотрим угловое ускорение маятника в этот момент времени. Угловое ускорение может быть найдено, используя формулу:
\[ \alpha = \frac{M}{I}, \]
где \( \alpha \) - угловое ускорение, \( M \) - момент силы, а \( I \) - момент инерции маятника относительно оси вращения.

Момент инерции маятника можно найти, используя закон Гюйгенса-Штейнера:
\[ I = I_0 + m \cdot r^2, \]
где \( I_0 \) - момент инерции маятника относительно его центра масс, \( m \) - масса маятника и \( r \) - расстояние от центра масс до оси вращения.

В данном случае, момент инерции маятника относительно его центра масс можно найти, используя известную формулу для момента инерции простого маятника:
\[ I_0 = \frac{1}{3} \cdot m \cdot l^2. \]
Также, расстояние от центра масс до оси вращения равно половине длины стержня:
\[ r = \frac{l}{2}. \]

Подставим значения в формулу момента инерции и упростим:
\[ I = \frac{1}{3} \cdot m \cdot l^2 + m \cdot (\frac{l}{2})^2. \]
\[ I = \frac{1}{3} \cdot m \cdot l^2 + \frac{1}{4} \cdot m \cdot l^2. \]
\[ I = \frac{7}{12} \cdot m \cdot l^2. \]

Теперь мы можем вычислить угловое ускорение, подставив значения в формулу:
\[ \alpha = \frac{M}{I}. \]
\[ \alpha = \frac{\frac{5}{4} \cdot m \cdot g \cdot l}{\frac{7}{12} \cdot m \cdot l^2}. \]
Упростим это уравнение:
\[ \alpha = \frac{15}{7} \cdot \frac{g}{l}. \]

Таким образом, момент силы тяжести относительно точки \( O \) в маятнике, состоящем из двух однородных стержней длиной \( l \) и массой \( m \), когда он отклоняется на 90° от положения равновесия вокруг горизонтальной оси, проходящей через конец одного из стержней, равен \( \frac{5}{4} \cdot m \cdot g \cdot l \), а угловое ускорение маятника в этот момент времени, при условии отсутствия трения, равно \( \frac{15}{7} \cdot \frac{g}{l} \).