Каков модуль скорости точки в момент времени t = 1/3 секунды по заданной траектории с законом движения s(t

Для того чтобы найти модуль скорости точки в момент времени \(t = \frac{1}{3}\) секунды по заданной траектории, мы должны сначала найти производную этой траектории \(s(t)\), а затем подставить найденное значение \(t = \frac{1}{3}\) в полученную производную.

Начнем с нахождения производной \(s(t)\). Учитывая, что \(s(t) = \cos^2(n\pi t) + b\), мы можем использовать цепное правило дифференцирования и заметить, что производная квадрата функции \(\cos^2(x)\) будет равна производной самой функции, умноженной на \(2\cos(x)\). Применяя эту информацию, мы получаем:

\[
\frac{ds}{dt} = 2\cos(n\pi t) \cdot \frac{d(\cos(n\pi t))}{dt}
\]

Теперь найдем производную \(\frac{d(\cos(n\pi t))}{dt}\). Она будет равна произведению производной \(\cos(x)\) (которую мы знаем равной \(-\sin(x)\)) на производную аргумента, то есть \(\frac{d(n\pi t)}{dt} = n\pi\). Подставляем значения и получаем:

\[
\frac{d(\cos(n\pi t))}{dt} = -n\pi\sin(n\pi t)
\]

Теперь мы можем вернуться к формуле для производной \(s(t)\) и подставить полученное значение:

\[
\frac{ds}{dt} = 2\cos(n\pi t) \cdot (-n\pi\sin(n\pi t))
\]

Теперь, когда у нас есть формула для производной, мы можем посчитать скорость в момент времени \(t = \frac{1}{3}\) секунды, подставив это значение в формулу и вычислив модуль скорости. Подставляем \(t = \frac{1}{3}\) в формулу и вычисляем значение:

\[
v = \left|2\cos\left(\frac{1}{2}\pi \cdot \frac{1}{3}\right) \cdot \left(-\frac{1}{2}\pi\sin\left(\frac{1}{2}\pi \cdot \frac{1}{3}\right)\right)\right|
\]

\[
v = \left|2\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) \cdot \left(-\frac{\pi}{6}\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\right)\right|
\]

\[
v = \left|2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \left(-\frac{\pi}{6}\cdot\frac{1}{2}\right)\right|
\]

\[
v = \left|\sqrt{3} \cdot \left(-\frac{\pi}{12}\right)\right|
\]

Теперь мы можем приближенно вычислить это значение с точностью до 0.01 м/с. Округлим число \(\frac{\pi}{12}\) до двух знаков после запятой:

\[
v \approx \left|-0.26 \cdot \sqrt{3}\right|
\]

\[
v \approx 0.45 \text{ м/с}
\]

Таким образом, модуль скорости точки в момент времени \(t = \frac{1}{3}\) секунды по заданной траектории равен 0.45 м/с (с точностью до 0.01 м/с).