Каков метод исследования и график функции, у которой уравнение выглядит как у=х^2-5х+3?

Конечно! Для исследования функции \(y=x^2-5x+3\) мы можем использовать методы анализа функций, которые включают в себя нахождение области определения, анализ поведения функции при изменении \(x\), нахождение пересечений с осями координат и экстремумов, а также построение графика функции.

1. Область определения функции: чтобы определить, в каких точках функция имеет смысл, необходимо решить неравенство \(y=x^2-5x+3\) относительно \(x\). В данной функции \(x\) может быть любым числом, поэтому область определения функции является множеством всех действительных чисел \(\mathbb{R}\).

2. Поведение функции при изменении \(x\):
- Для анализа вершины параболы и направления выпуклости, найдем координаты вершины функции. В нашем случае, функция имеет вид \(y=ax^2+bx+c\), где \(a=1\), \(b=-5\) и \(c=3\). Координаты вершины можно найти с помощью формулы \(x_v = -\frac{b}{2a}\) и \(y_v = f(x_v)\). Подставим значения \(a\), \(b\) и \(c\) и найдем вершину.

\[
x_v = -\frac{-5}{2\times1} = \frac{5}{2}
\]

\[
y_v = \left(\frac{5}{2}\right)^2 - 5\left(\frac{5}{2}\right) + 3 = -\frac{1}{4}
\]

Значит, вершина параболы находится в точке \(\left(\frac{5}{2}, -\frac{1}{4}\right)\).

- Далее, определим, при каких значениях \(x\) функция принимает положительные и отрицательные значения. Для этого найдем корни уравнения \(y=x^2-5x+3=0\). Решим это квадратное уравнение:

\[
x^2-5x+3=0
\]

Применяя квадратное уравнение, получим:

\[
x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}
\]

где \(D\) - дискриминант, вычисляемый как \(D = b^2 - 4ac\).

Подставим значения \(a\), \(b\) и \(c\) и найдем корни:

\[
x_1 = \frac{5 + \sqrt{13}}{2} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{5 - \sqrt{13}}{2}
\]

Таким образом, функция \(y=x^2-5x+3\) положительна при \(x < \frac{5 - \sqrt{13}}{2}\) и \(x > \frac{5 + \sqrt{13}}{2}\), а отрицательна при \(\frac{5 - \sqrt{13}}{2} < x < \frac{5 + \sqrt{13}}{2}\).

3. Пересечения с осями координат: Чтобы найти пересечения с осью OX, приравняем \(y\) к нулю и решим уравнение \(x^2-5x+3=0\). Мы уже нашли корни при анализе поведения функции и они равны \(\frac{5 + \sqrt{13}}{2}\) и \(\frac{5 - \sqrt{13}}{2}\). Значит, функция пересекает ось OX в точках \(\left(\frac{5 - \sqrt{13}}{2},0\right)\) и \(\left(\frac{5 + \sqrt{13}}{2},0\right)\).

Чтобы найти пересечение с осью OY, подставим \(x=0\) в уравнение функции:

\[
y = (0)^2-5(0)+3 = 3
\]

Значит, функция пересекает ось OY в точке \((0,3)\).

4. Экстремум: Как уже было упомянуто ранее, вершина параболы представляет собой экстремум функции. В нашем случае, вершина находится в точке \(\left(\frac{5}{2}, -\frac{1}{4}\right)\). Таким образом, минимальное значение функции составляет \(-\frac{1}{4}\).

5. Построение графика: Чтобы построить график функции \(y=x^2-5x+3\), мы можем использовать полученные выше сведения. Мы знаем, что функция является параболой, которая открывается вверх, так как коэффициент при \(x^2\) положительный (\(a = 1\)). Вершина графика находится в точке \(\left(\frac{5}{2}, -\frac{1}{4}\right)\). График будет пересекать ось OX в точках \(\left(\frac{5 - \sqrt{13}}{2},0\right)\) и \(\left(\frac{5 + \sqrt{13}}{2},0\right)\) и ось OY в точке \((0,3)\). Мы также знаем, что функция положительна при \(x < \frac{5 - \sqrt{13}}{2}\) и \(x > \frac{5 + \sqrt{13}}{2}\), а отрицательна при \(\frac{5 - \sqrt{13}}{2} < x < \frac{5 + \sqrt{13}}{2}\).

Вот график функции \(y=x^2-5x+3\):

\[
\begin{array}{c}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
grid,
axis lines = middle,
xlabel = \(x\),
ylabel = \(y\),
xmin = -1,
xmax = 6,
ymin = -2,
ymax = 8,
xtick = {-1, 0, 1, ..., 6},
ytick = {-2, -1, 0, 1, ..., 8},
]
\addplot [
domain=-0.5:5.5,
samples=100,
color=blue,
] {x^2 - 5*x + 3};
\node[label={180:{\((0,3)\)}},circle,fill,inner sep=2pt] at (axis cs:0,3) {};
\node[label={90:{\(\left(\frac{5 - \sqrt{13}}{2},0\right)}\)},circle,fill,inner sep=2pt] at (axis cs:{(5 - sqrt(13))/2},0) {};
\node[label={90:{\(\left(\frac{5 + \sqrt{13}}{2},0\right)}\)},circle,fill,inner sep=2pt] at (axis cs:{(5 + sqrt(13))/2},0) {};
\node[label={270:{\(\left(\frac{5}{2}, -\frac{1}{4}\right)}\)},circle,fill,inner sep=2pt] at (axis cs:{5/2},-1/4) {};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{array}
\]

Надеюсь, этот подробный анализ и график помогут вам лучше понять функцию \(y=x^2-5x+3\)! Если у вас есть какие-либо дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!