Каков метод исследования и график функции, у которой уравнение выглядит как у=х^2-5х+3?

Конечно! Для исследования функции $y=x^2-5x+3$ мы можем использовать методы анализа функций, которые включают в себя нахождение области определения, анализ поведения функции при изменении $x$, нахождение пересечений с осями координат и экстремумов, а также построение графика функции.

1. Область определения функции: чтобы определить, в каких точках функция имеет смысл, необходимо решить неравенство $y=x^2-5x+3$ относительно $x$. В данной функции $x$ может быть любым числом, поэтому область определения функции является множеством всех действительных чисел $\mathbb{R}$.

2. Поведение функции при изменении $x$:
- Для анализа вершины параболы и направления выпуклости, найдем координаты вершины функции. В нашем случае, функция имеет вид $y=a{x}^2+bx+c$, где $a=1$, $b=-5$ и $c=3$. Координаты вершины можно найти с помощью формулы $x_v=-\frac{b}{2a}$ и $y_v=f(x_v)$. Подставим значения $a$, $b$ и $c$ и найдем вершину.

$$x_v=-\frac{-5}{2\times 1}=\frac{5}{2}$$

$$y_v={\left(\frac{5}{2}\right)}^2-5\left(\frac{5}{2}\right)+3=-\frac{1}{4}$$

Значит, вершина параболы находится в точке $(\frac{5}{2},-\frac{1}{4})$.

- Далее, определим, при каких значениях $x$ функция принимает положительные и отрицательные значения. Для этого найдем корни уравнения $y=x^2-5x+3=0$. Решим это квадратное уравнение:

$$x^2-5x+3=0$$

Применяя квадратное уравнение, получим:

$$x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\text{и}{x}_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}$$

где $D$ - дискриминант, вычисляемый как $D=b^2-4ac$.

Подставим значения $a$, $b$ и $c$ и найдем корни:

$$x_1=\frac{5+\sqrt{13}}{2}\text{и}{x}_2=\frac{5-\sqrt{13}}{2}$$

Таким образом, функция $y=x^2-5x+3$ положительна при $x<\frac{5-\sqrt{13}}{2}$ и $x>\frac{5+\sqrt{13}}{2}$, а отрицательна при $\frac{5-\sqrt{13}}{2}<x<\frac{5+\sqrt{13}}{2}$.

3. Пересечения с осями координат: Чтобы найти пересечения с осью OX, приравняем $y$ к нулю и решим уравнение $x^2-5x+3=0$. Мы уже нашли корни при анализе поведения функции и они равны $\frac{5+\sqrt{13}}{2}$ и $\frac{5-\sqrt{13}}{2}$. Значит, функция пересекает ось OX в точках $(\frac{5-\sqrt{13}}{2},0)$ и $(\frac{5+\sqrt{13}}{2},0)$.

Чтобы найти пересечение с осью OY, подставим $x=0$ в уравнение функции:

$$y=(0{)}^2-5(0)+3=3$$

Значит, функция пересекает ось OY в точке $(0,3)$.

4. Экстремум: Как уже было упомянуто ранее, вершина параболы представляет собой экстремум функции. В нашем случае, вершина находится в точке $(\frac{5}{2},-\frac{1}{4})$. Таким образом, минимальное значение функции составляет $-\frac{1}{4}$.

5. Построение графика: Чтобы построить график функции $y=x^2-5x+3$, мы можем использовать полученные выше сведения. Мы знаем, что функция является параболой, которая открывается вверх, так как коэффициент при $x^2$ положительный ($a=1$). Вершина графика находится в точке $(\frac{5}{2},-\frac{1}{4})$. График будет пересекать ось OX в точках $(\frac{5-\sqrt{13}}{2},0)$ и $(\frac{5+\sqrt{13}}{2},0)$ и ось OY в точке $(0,3)$. Мы также знаем, что функция положительна при $x<\frac{5-\sqrt{13}}{2}$ и $x>\frac{5+\sqrt{13}}{2}$, а отрицательна при $\frac{5-\sqrt{13}}{2}<x<\frac{5+\sqrt{13}}{2}$.

Вот график функции $y=x^2-5x+3$:

$$\text{Unknown environment 'tikzpicture'}$$

Надеюсь, этот подробный анализ и график помогут вам лучше понять функцию $y=x^2-5x+3$! Если у вас есть какие-либо дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!