Каков косинус угла В в треугольнике АВС, если координаты точек А, В и С заданы как А(4;4), В(3;7), С(-4;8)?

Чтобы найти косинус угла В в треугольнике АВС, нам необходимо знать длины сторон треугольника и применить формулу косинусов.

Для начала, найдем длину сторон треугольника АВС, используя координаты точек А, В и С. Длина стороны AB будет равна расстоянию между точками A и B, которое можно найти по формуле расстояния между двумя точками на плоскости:

\[AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\]

\[AB = \sqrt{(3 - 4)^2 + (7 - 4)^2}\]

\[AB = \sqrt{1^2 + 3^2}\]

\[AB = \sqrt{1 + 9}\]

\[AB = \sqrt{10}\]

Длина стороны AB равна \(\sqrt{10}\).

Точно так же можно найти длины сторон BC и AC, используя координаты точек B, C и A, Соответственно, получим

\[BC = \sqrt{(-4 - 3)^2 + (8 - 7)^2} = \sqrt{(-7)^2 + 1^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} = 5 \sqrt{2}\]

\[AC = \sqrt{(-4 - 4)^2 + (8 - 4)^2} = \sqrt{(-8)^2 + 4^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80} = 4 \sqrt{5}\]

Теперь, когда у нас есть длины сторон треугольника, мы можем применить формулу косинусов:

\[\cos(\angle B) = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC}\]

\[\cos(\angle B) = \frac{(\sqrt{10})^2 + (5 \sqrt{2})^2 - (4 \sqrt{5})^2}{2 \cdot \sqrt{10} \cdot 5 \sqrt{2}}\]

\[\cos(\angle B) = \frac{10 + 50 - 80}{2 \cdot \sqrt{10} \cdot 5 \sqrt{2}}\]

\[\cos(\angle B) = \frac{-20}{10 \sqrt{2}}\]

\[\cos(\angle B) = \frac{-2}{\sqrt{2}}\]

Упрощая полученное значение, получаем:

\[\cos(\angle B) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\].

Таким образом, косинус угла В в треугольнике АВС равен \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\) или \(-0.707\) (округлено до трех десятичных знаков).