Каков косинус угла при вершине равнобедренного треугольника, у которого тангенс противолежащего основанию угла равен

Конечно, я могу объяснить и дать решение этой задачи! Для начала, давайте вспомним некоторые свойства треугольников. Косинус угла при вершине равнобедренного треугольника равен отношению длины основания к удвоенному радиусу вписанной в него окружности. Для нашей задачи это означает, что если мы найдем отношение основания к радиусу вписанной окружности, мы сможем определить значение косинуса угла.

Теперь, нам дано, что тангенс противолежащего основанию угла равен \(2\sqrt{2}\). Тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету. Таким образом, мы можем записать:

\[\tan(\theta) = \frac{b}{h},\]

где \(\theta\) - это угол при вершине равнобедренного треугольника, \(b\) - это длина основания, \(h\) - это высота, опущенная из вершины на основание треугольника.

Мы уже знаем, что \(\tan(\theta) = 2\sqrt{2}\), поэтому мы можем записать:

\[2\sqrt{2} = \frac{b}{h}.\]

Теперь, давайте вспомним еще одно свойство равнобедренного треугольника: высота, опущенная из вершины на основание, равна половине основания, умноженной на корень из 2. Мы можем использовать это свойство, чтобы найти значение высоты:

\[h = \frac{b}{2}\sqrt{2}.\]

Теперь мы можем подставить это значение \(h\) в наше уравнение:

\[2\sqrt{2} = \frac{b}{\frac{b}{2}\sqrt{2}}.\]

Давайте упростим это уравнение. Сначала умножим обе части уравнения на \(\frac{b}{2}\sqrt{2}\):

\[2\sqrt{2} \cdot \frac{b}{2}\sqrt{2} = b.\]

Упростим левую часть уравнения:

\[2 \cdot 2 \cdot \frac{b}{2} \cdot \frac{b}{2} = b.\]

Теперь упростим это выражение:

\[b = \frac{b^2}{2}.\]

Мы можем перемножить обе части уравнения на 2 для упрощения:

\[2b = b^2.\]

Теперь это квадратное уравнение, которое мы можем решить. Приведем его к виду \(b^2 - 2b = 0\) и факторизуем:

\[b(b-2) = 0.\]

Это означает, что \(b = 0\) или \(b = 2\). Очевидно, что длина основания треугольника не может быть нулевой, поэтому мы выбираем \(b = 2\).

Теперь мы можем найти длину радиуса вписанной окружности. Мы знаем, что высота равна половине основания, умноженной на корень из 2, поэтому:

\[h = \frac{b}{2}\sqrt{2} = \frac{2}{2}\sqrt{2} = \sqrt{2}.\]

Таким образом, радиус вписанной окружности равен \(\sqrt{2}\).

И, наконец, мы можем использовать это, чтобы найти косинус угла при вершине. Косинус равен отношению длины основания к удвоенному радиусу вписанной в треугольник окружности. Подставим значения:

\[\cos(\theta) = \frac{b}{2r} = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}.\]

Таким образом, косинус угла при вершине равнобедренного треугольника, у которого тангенс противолежащего основанию угла равен \(2\sqrt{2}\), равен \(\frac{1}{\sqrt{2}}\).