Каков косинус угла между медианами AA1 и ВВ1 треугольника ABC, если известно, что AB = 4, BC = 6, и угол B равен 90°?

Для решения данной задачи, мы должны найти косинус угла между медианами \(AA_1\) и \(BB_1\) треугольника ABC. Для начала, давайте воспользуемся свойством медианы - она делит сторону треугольника пополам.

Итак, чтобы найти медиану \(AA_1\) треугольника ABC, мы будем соединять вершину A со средней точкой стороны BC (пусть она обозначается точкой M). Таким образом, мы получим медиану \(AA_1\). Аналогичным образом, построим медиану \(BB_1\) соединяя вершину B со средней точкой стороны AC (пусть она обозначается точкой N).

Чтобы найти косинус угла между медианами, нам понадобится определить значения длины медиан \(AA_1\) и \(BB_1\).

Для начала найдем длину стороны AC, используя теорему Пифагора, так как мы знаем длины сторон AB и BC и угол B равен 90°:
\[AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{52}.\]

Затем найдем координаты точки M, которая является серединой стороны BC. Поскольку B - это (0, 0), а C - это (6, 0), средняя точка M будет иметь координаты \((\frac{6}{2}, \frac{0}{2}) = (3, 0)\).

Аналогично, мы найдем координаты точки N, которая является серединой стороны AC. Поскольку A - это (0, 4), а C - это (6, 0), средняя точка N будет иметь координаты \((\frac{0}{2}, \frac{4}{2}) = (0, 2)\).

Теперь нам нужно найти длины медиан \(AA_1\) и \(BB_1\). Медиана \(AA_1\) будет иметь начальную точку в вершине A и конечную точку в середине стороны BC, то есть между точками B и M. Мы можем использовать формулу для нахождения расстояния между двумя точками в декартовой системе координат:
\[AA_1 = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = \sqrt{(0 - 3)^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5.\]

Медиана \(BB_1\) будет иметь начальную точку в вершине B и конечную точку в середине стороны AC, то есть между точками A и N:
\[BB_1 = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = \sqrt{(0 - 0)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{0 + 4} = \sqrt{4} = 2.\]

Теперь мы можем приступить к вычислению косинуса угла между медианами. Для этого мы будем использовать следующую формулу:
\[\cos(\theta) = \frac{AA_1 \cdot BB_1}{\sqrt{(AA_1)^2 \cdot (BB_1)^2}}.\]

Подставим полученные значения:
\[\cos(\theta) = \frac{5 \cdot 2}{\sqrt{25} \cdot \sqrt{4}} = \frac{10}{5 \cdot 2} = \frac{10}{10} = 1.\]

Таким образом, косинус угла между медианами \(AA_1\) и \(BB_1\) треугольника ABC равен 1.

Следует отметить, что этот результат следует из особенности треугольника, в котором одна из вершин является прямым углом. В общем случае, косинус угла между медианами может иметь другие значения.