Каков корень числа с 40 девятками после запятой, записанного под знаком корня √0,99...9? Сколько знаков после запятой

Чтобы решить эту задачу, мы должны сначала выразить число под знаком корня в виде десятичной дроби. Заметим, что число 0,99...9 состоит из бесконечного количества девяток после запятой. Представим это число в виде десятичной дроби следующим образом:

\[0,99...9 = 0,\overline{9} = \frac{9}{10} + \frac{9}{100} + \frac{9}{1000} + \ldots\]

Мы можем заметить, что это является бесконечной геометрической прогрессией. Для нахождения суммы этой прогрессии можно использовать формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии:

\[S = \frac{a}{1 - r}\]

где \(S\) - сумма прогрессии, \(a\) - первый член прогрессии и \(r\) - знаменатель прогрессии.

В нашем случае первый член прогрессии (\(a\)) равен \(\frac{9}{10}\), а знаменатель (\(r\)) равен \(\frac{1}{10}\). Подставим эти значения в формулу для нахождения суммы:

\[S = \frac{\frac{9}{10}}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{\frac{9}{10}}{\frac{9}{10}} = 1\]

Мы получили, что сумма прогрессии равна 1. Теперь мы можем подставить эту сумму в исходную задачу:

\[\sqrt{0,99...9} = \sqrt{1}\]

Мы знаем, что корень из 1 равен 1. Таким образом, корень числа с 40 девятками после запятой равен 1.

Ответ: Корень числа с 40 девятками после запятой, записанного под знаком корня \(\sqrt{0,99...9}\), равен 1.

Относительно знаков после запятой, в вычисленном корне, количество знаков после запятой будет равно нулю, так как число 1 является целым числом и не имеет десятичной части.