Каков коэффициент заполненности одного плотнейшего слоя в шаровой упаковке?

Коэффициент заполненности одного плотнейшего слоя в шаровой упаковке можно вычислить, зная количество шаров в этом слое и общее количество шаров в упаковке. Давайте разберемся подробнее.

Шаровая упаковка представляет собой способ упаковки шаров, при котором каждый следующий слой шаров помещается в углубления предыдущего слоя. Такая упаковка создает наиболее компактную структуру.

Предположим, что у нас имеется шаровая упаковка, состоящая из N шаров. Чтобы вычислить коэффициент заполненности одного плотнейшего слоя, сначала необходимо выяснить, сколько шаров содержится в этом слое.

В плотнейшей упаковке шаров каждый новый слой, начиная со второго, содержит шаров на два больше, чем предыдущий слой. Первый слой всегда содержит один шар.

Таким образом, нам нужно найти количество шаров в плотнейшем слое. Это можно сделать с помощью формулы:

\[C = 1 + 3 + 5 + \ldots + (2n - 1)\]

где C - количество шаров в слое, а n - номер слоя. Формула 2n - 1 получается из общей формулы для суммы арифметической прогрессии.

Вычисление этой суммы может быть немного сложным, поэтому давайте воспользуемся упрощенной формулой для нахождения суммы первых n нечетных чисел:

\[S = n^2\]

Теперь, когда у нас есть количество шаров в плотнейшем слое, мы можем найти коэффициент заполненности этого слоя, разделив количество шаров в слое на общее количество шаров в упаковке:

\[Коэффициент\ заполненности = \frac{C}{N}\]

Таким образом, чтобы найти коэффициент заполненности одного плотнейшего слоя в шаровой упаковке, необходимо найти сумму первых n нечетных чисел (где n - номер слоя) и разделить результат на общее количество шаров в упаковке.