Каков коэффициент заполненности одного плотнейшего слоя шаровой упаковки? Учитывая, что изображена проекция

Для решения этой задачи, нам понадобится понять структуру шаровой упаковки и использовать формулу для расчета коэффициента заполненности.

Шаровая упаковка — это способ укладки шаров в пространстве таким образом, чтобы они максимально заполняли тримерное пространство.

В плотнейшей шаровой упаковке каждый следующий слой шаров укладывается таким образом, чтобы его центры располагались между шарами предыдущего слоя. В результате каждый шар соприкасается с шестью другими шарами.

Плотность данной шаровой упаковки можно выразить через коэффициент заполненности, который определяется как отношение объема шаров к объему всего пространства, занятого этими шарами.

Давайте приступим к решению задачи:

1. Посчитаем объем одного шара. Объем шара можно вычислить по формуле:
\[V = \frac{4}{3} \pi r^3,\]
где \(r\) - радиус шара.

2. Каждый слой содержит шары, причем центры шаров каждого слоя находятся на одной и той же высоте.
По условию задачи, высота слоя равна диаметру шара. То есть, если радиус шара равен \(r\), то высота слоя равна \(2r\).

3. Найдем площадь плоскости, на которую проецируется плотнейшая слой шаровой упаковки.
Площадь проекции будет равна площади круга, ограниченного шарами на этом слое. Площадь круга можно вычислить по формуле:
\[S = \pi r^2.\]

4. Найдем объем слоя шаровой упаковки. Так как каждый шар в слое соприкасается с шестью другими шарами, то количество шаров в слое будет равно шести. Исходя из этого, объем слоя можно вычислить следующим образом:
\[V_{\text{слоя}} = 6V = 6 \cdot \left( \frac{4}{3} \pi r^3 \right).\]

5. Найдем объем всего пространства, занимаемого шаровой упаковкой. Для этого нужно сложить объемы всех слоев. В данном случае, мы упаковываем шары до бесконечности, поэтому сумма объемов всех слоев будет равна бесконечности.

6. Так как объем всего пространства, занимаемого шаровой упаковкой, равен бесконечности, то коэффициент заполненности будет равен отношению объема слоя к объему всего пространства, умноженному на 100%:

\[Коэффициент\ заполненности = \frac{V_{\text{слоя}}}{V_{\text{пространства}}} \times 100\%.\]

Поскольку объем всего пространства равен бесконечности, то коэффициент заполненности будет также равен бесконечности.

Итак, ответ на задачу — коэффициент заполненности одного плотнейшего слоя шаровой упаковки равен бесконечности.