Каков коэффициент при члене, содержащем x в степени 4, в выражении (x(1-x)^10+x^2(1-2x)^20+x^3(1-3x)^30)? Обратимся

Давайте решим данную задачу поэтапно.

У нас есть выражение:
\[ (x(1-x)^{10} + x^2(1-2x)^{20} + x^3(1-3x)^{30}) \]

Первое слагаемое это \( x(1-x)^{10} \), второе слагаемое - \( x^2(1-2x)^{20} \), третье слагаемое - \( x^3(1-3x)^{30} \).

Давайте раскроем скобки в этих выражениях и упростим их.

Рассмотрим первое слагаемое \( x(1-x)^{10} \):
\[ x(1-x)^{10} = x \cdot (1 - x) \cdot (1 - x) \cdot \ldots \cdot (1 - x) \]

Умножим все эти множители:
\[ x \cdot (1 - x) \cdot (1 - x) \cdot \ldots \cdot (1 - x) = x \cdot (1 - x)^{10} \]

Второе слагаемое:
\[ x^2(1-2x)^{20} = x^2 \cdot (1 - 2x) \cdot (1 - 2x) \cdot \ldots \cdot (1 - 2x) \]

Умножим все эти множители:
\[ x^2 \cdot (1 - 2x) \cdot (1 - 2x) \cdot \ldots \cdot (1 - 2x) = x^2 \cdot (1 - 2x)^{20} \]

Третье слагаемое:
\[ x^3(1-3x)^{30} = x^3 \cdot (1 - 3x) \cdot (1 - 3x) \cdot \ldots \cdot (1 - 3x) \]

Перемножаем все множители:
\[ x^3 \cdot (1 - 3x) \cdot (1 - 3x) \cdot \ldots \cdot (1 - 3x) = x^3 \cdot (1 - 3x)^{30} \]

Теперь, чтобы найти коэффициент при члене, содержащем \( x \) в степени 4, нам нужно найти такие слагаемые, в которых степень \( x \) равна 4.
В данном выражении такое слагаемое будет только во втором слагаемом \( x^2(1-2x)^{20} \), так как только эта часть имеет \( x \) в степени 2.

Коэффициент при \( x^2(1-2x)^{20} \) задачи равен 1.

Таким образом, коэффициент при члене, содержащем \( x \) в степени 4, в выражении (x(1-x)^10+x^2(1-2x)^20+x^3(1-3x)^30) равен 1.