Каков интервал, который является ε-окрестностью точки x=6,3 на числовой прямой?

Хорошо, давайте начнем.

Интервал, который является ε-окрестностью точки $x=6.3$ на числовой прямой, можно определить следующим образом: это интервал, который содержит все числа, находящиеся на расстоянии менее или равном ε (эпсилону) от точки $x=6.3$. В данной задаче нам нужно найти такой интервал.

Для решения этой задачи нам понадобится знание двух концепций: абсолютной величины и интервала. Абсолютная величина числа $a$ (обозначается как $|a|$) – это расстояние от точки $a$ до нуля на числовой прямой. Например, $|3|=3$ и $|-5|=5$.

Интервал – это участок числовой прямой между двумя точками. Он может быть ограничен или неограничен.

Теперь применим эти концепции к нашей задаче.

Мы знаем, что нужно найти интервал, который является ε-окрестностью точки $x=6.3$. Чтобы найти этот интервал, мы можем использовать абсолютную величину.

Если мы хотим, чтобы числа находились на расстоянии менее или равном ε от точки $x=6.3$, мы можем записать это в виде неравенства:

$$|x-6.3|\le \epsilon$$

Здесь символ $|\cdot |$ означает абсолютную величину, а $x$ – значение, на котором мы ищем интервал.

Давайте произведем некоторые операции, чтобы решить это неравенство.

1. Вычтем $6.3$ из обеих сторон неравенства:

$$|x-6.3|-6.3\le \epsilon -6.3$$

2. Добавим $6.3$ к обеим сторонам неравенства:

$$|x-6.3|\le \epsilon -6.3+6.3$$

3. Упростим сложение:

$$|x-6.3|\le \epsilon$$

Таким образом, мы получили неравенство, которое определяет интервал-окрестность точки $x=6.3$. Интервал будет содержать все числа, удовлетворяющие этому неравенству.

Теперь, чтобы получить ответ в виде интервала, нам нужно записать неравенство без абсолютной величины.

1. Если $x-6.3$ неотрицательное число, то неравенство остается без изменений:

$$x-6.3\le \epsilon$$

2. Если $x-6.3$ отрицательное число, то неравенство меняет знак:

$$-(x-6.3)\le \epsilon$$

Теперь мы можем объединить два случая:

$$-\epsilon \le x-6.3\le \epsilon$$

или

$$6.3-\epsilon \le x\le 6.3+\epsilon$$

Таким образом, интервал, который является ε-окрестностью точки $x=6.3$ на числовой прямой, будет $[6.3-\epsilon ,6.3+\epsilon ]$.

Надеюсь, данный подробный ответ помог вам понять, как найти интервал-окрестность для данной точки. Если у вас еще остались вопросы, не стесняйтесь задавать.