Каков интервал, который является ε-окрестностью точки x=6,3 на числовой прямой?

Хорошо, давайте начнем.

Интервал, который является ε-окрестностью точки \(x = 6.3\) на числовой прямой, можно определить следующим образом: это интервал, который содержит все числа, находящиеся на расстоянии менее или равном ε (эпсилону) от точки \(x = 6.3\). В данной задаче нам нужно найти такой интервал.

Для решения этой задачи нам понадобится знание двух концепций: абсолютной величины и интервала. Абсолютная величина числа \(a\) (обозначается как \(|a|\)) – это расстояние от точки \(a\) до нуля на числовой прямой. Например, \(|3| = 3\) и \(|-5| = 5\).

Интервал – это участок числовой прямой между двумя точками. Он может быть ограничен или неограничен.

Теперь применим эти концепции к нашей задаче.

Мы знаем, что нужно найти интервал, который является ε-окрестностью точки \(x = 6.3\). Чтобы найти этот интервал, мы можем использовать абсолютную величину.

Если мы хотим, чтобы числа находились на расстоянии менее или равном ε от точки \(x = 6.3\), мы можем записать это в виде неравенства:

\[|x - 6.3| \leq \varepsilon\]

Здесь символ \(|\cdot|\) означает абсолютную величину, а \(x\) – значение, на котором мы ищем интервал.

Давайте произведем некоторые операции, чтобы решить это неравенство.

1. Вычтем \(6.3\) из обеих сторон неравенства:

\[|x - 6.3| - 6.3 \leq \varepsilon - 6.3\]

2. Добавим \(6.3\) к обеим сторонам неравенства:

\[|x - 6.3| \leq \varepsilon - 6.3 + 6.3\]

3. Упростим сложение:

\[|x - 6.3| \leq \varepsilon\]

Таким образом, мы получили неравенство, которое определяет интервал-окрестность точки \(x = 6.3\). Интервал будет содержать все числа, удовлетворяющие этому неравенству.

Теперь, чтобы получить ответ в виде интервала, нам нужно записать неравенство без абсолютной величины.

1. Если \(x - 6.3\) неотрицательное число, то неравенство остается без изменений:

\[x - 6.3 \leq \varepsilon\]

2. Если \(x - 6.3\) отрицательное число, то неравенство меняет знак:

\[-(x - 6.3) \leq \varepsilon\]

Теперь мы можем объединить два случая:

\[-\varepsilon \leq x - 6.3 \leq \varepsilon\]

или

\[6.3 - \varepsilon \leq x \leq 6.3 + \varepsilon\]

Таким образом, интервал, который является ε-окрестностью точки \(x = 6.3\) на числовой прямой, будет \([6.3 - \varepsilon, 6.3 + \varepsilon]\).

Надеюсь, данный подробный ответ помог вам понять, как найти интервал-окрестность для данной точки. Если у вас еще остались вопросы, не стесняйтесь задавать.