Каков график функции f (x)=x^3-12x-14 после исследования?

Хорошо, давайте исследуем график функции \(f(x) = x^3 - 12x - 14\).

Шаг 1: Вычисление производной функции

Для начала вычислим производную функции \(f(x)\). У производной функции могут быть полезные свойства для изучения поведения графика.

\[
f"(x) = \frac{{d}}{{dx}} (x^3 - 12x - 14) = 3x^2 - 12
\]

Шаг 2: Определение точек экстремума

Теперь найдем точки, где производная равна нулю:

\[
3x^2 - 12 = 0
\]

Решим это уравнение:

\[
3x^2 = 12 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2
\]

Таким образом, точки экстремума функции находятся в точках \((2, f(2))\) и \((-2, f(-2))\).

Шаг 3: Исследование знаков производной

Теперь проанализируем знаки производной функции \(f"(x)\) на разных интервалах.

Возьмем точки, лежащие слева и справа от точек экстремума, и подставим их в \(f"(x)\) и \(f(x)\).

\[
\text{Для } x < -2 \text{, поставим } x = -3:
\]
\[
f"(-3) = 3(-3)^2 - 12 = 3(9) - 12 = 27 - 12 = 15 > 0
\]
\[
f(-3) = (-3)^3 - 12(-3) - 14 = -27 + 36 - 14 = -5
\]

Таким образом, на интервале \((-\infty, -2)\) производная \(f"(x)\) положительна и функция \(f(x)\) убывает.

\[
\text{Для } -2 < x < 2 \text{, возьмем } x = 0:
\]
\[
f"(0) = 3(0)^2 - 12 = -12 < 0
\]
\[
f(0) = (0)^3 - 12(0) - 14 = -14
\]

Из этого следует, что на интервале \((-2, 2)\) производная \(f"(x)\) отрицательна и функция \(f(x)\) возрастает.

\[
\text{Для } x > 2 \text{, возьмем } x = 3:
\]
\[
f"(3) = 3(3)^2 - 12 = 3(9) - 12 = 27 - 12 = 15 > 0
\]
\[
f(3) = (3)^3 - 12(3) - 14 = 27 - 36 - 14 = -23
\]

Таким образом, на интервале \((2, \infty)\) производная \(f"(x)\) положительна и функция \(f(x)\) убывает.

Шаг 4: Определение интервалов возрастания и убывания

На основании знаков производной \(f"(x)\), мы можем определить интервалы возрастания и убывания функции \(f(x)\).

Итак, функция \(f(x)\) возрастает на интервале \((-2, 2)\) и убывает на интервалах \((-\infty, -2)\) и \((2, \infty)\).

Шаг 5: Определение точек перегиба

Чтобы найти точки перегиба функции, рассмотрим изменение знака второй производной \(f""(x)\):

\[
f""(x) = \frac{{d^2}}{{dx^2}} (3x^2 - 12) = 6x
\]

Здесь \(f""(x)\) равно нулю, когда \(x = 0\).

Таким образом, точка перегиба находится в точке \((0, f(0))\).

Шаг 6: Определение выпуклости и вогнутости

На основе знаков второй производной \(f""(x)\), мы можем определить выпуклость и вогнутость функции \(f(x)\).

\begin{itemize}
\item Если \(f""(x) > 0\), то функция \(f(x)\) выпукла вверх.
\item Если \(f""(x) < 0\), то функция \(f(x)\) вогнута вниз.
\end{itemize}

В нашем случае, когда \(x < 0\), производная \(f""(x)\) отрицательна, поэтому функция \(f(x)\) в этом интервале вогнута вниз. А когда \(x > 0\), производная \(f""(x)\) положительна, поэтому функция \(f(x)\) в этом интервале выпукла вверх.

Итак, мы провели исследование графика функции \(f(x) = x^3 - 12x - 14\) и получили следующие результаты:

1. Точки экстремума: \((2, f(2))\) и \((-2, f(-2))\).
2. Точка перегиба: \((0, f(0))\).
3. Интервалы возрастания: \((-2, 2)\).
4. Интервалы убывания: \((-\infty, -2)\) и \((2, \infty)\).
5. Функция выпукла вверх на интервале \(x > 0\) и вогнута вниз на интервале \(x < 0\).

Надеюсь, это помогло вам понять, как исследовать график функции. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!