Каков эквивалентный вариант сокращения дроби (х - 18√(х + 81))/(х - 81)?

Чтобы найти эквивалентный вариант сокращения данной дроби, мы сначала должны привести выражение под корнем к квадратному виду. Используем для этого следующий приём:

\[
\sqrt{(a + b)(a - b)} = \sqrt{a^2 - b^2}
\]

Применим этот приём к выражению \((x + 81)\) под корнем в знаменателе:

\[
\sqrt{x^2 - 81^2}
\]

Выражение \((x - 18\sqrt{x + 81})\) в числителе оставляем нетронутым. Теперь дробь имеет следующий вид:

\[
\frac{{x - 18\sqrt{x + 81}}}{{x - \sqrt{x^2 - 81^2}}}
\]

Воспользуемся теперь теоремой о сокращении сумм разностей корней:

\[
\sqrt{a} \pm \sqrt{b} = \frac{{(a - b)}}{{\sqrt{a} \mp \sqrt{b}}}
\]

Применим эту теорему к знаменателю дроби. Заметим, что здесь \(a = x\), \(b = x^2 - 81^2\), поэтому:

\[
x - \sqrt{x^2 - 81^2} = \frac{{(x - \sqrt{x^2 - 81^2})(x + \sqrt{x^2 - 81^2})}}{{(x + \sqrt{x^2 - 81^2})}}
\]

Выражение \((x + \sqrt{x^2 - 81^2})\) является сопряженным к \((x - \sqrt{x^2 - 81^2})\) и всегда равно его квадратному корню. Итак, знаменатель дроби может быть записан так:

\[
x - \sqrt{x^2 - 81^2} = \frac{{(x - \sqrt{x^2 - 81^2})(x + \sqrt{x^2 - 81^2})}}{{(x + \sqrt{x^2 - 81^2})}} = \frac{{(x^2 - (x^2 - 81^2))}}{{(x + \sqrt{x^2 - 81^2})}}
\]

Упростим числитель знаком минус:

\[
x - 18\sqrt{x + 81} = -(18\sqrt{x + 81} - x) = \frac{{-(18\sqrt{x + 81} - x)(18\sqrt{x + 81} + x)}}{{(18\sqrt{x + 81} + x)}}
\]

Теперь приведём каждую найденную дробь:

\[
\frac{{x - 18\sqrt{x + 81}}}{{x - \sqrt{x^2 - 81^2}}} = \frac{{-(18\sqrt{x + 81} - x)(18\sqrt{x + 81} + x)}}{{(x^2 - (x^2 - 81^2))}} = \frac{{-(18\sqrt{x + 81} - x)(18\sqrt{x + 81} + x)}}{{(2 \cdot 3^4)}}
\]

Таким образом, эквивалентный вариант сокращения дроби \(\frac{{(x - 18\sqrt{x + 81})}}{{(x - \sqrt{x^2 - 81^2})}}\) равен \(\frac{{-(18\sqrt{x + 81} - x)(18\sqrt{x + 81} + x)}}{{162}}\).