Каков должен быть минимальный радиус непрозрачного диска, плавающего на поверхности воды над точечным источником света

Рассмотрим данную задачу.

Для того чтобы свет не выходил из воды, нужно, чтобы все лучи света, проникающие в диск, были полностью отражены обратно в воду. В данном случае, лучи света будут падать на границу воды и диска под определенным углом. Этот угол называется предельным углом полного внутреннего отражения и обозначается $\theta$.

Для нахождения предельного угла полного внутреннего отражения, мы можем использовать закон Снеллиуса:

$$\sin (\theta )=\frac{n_2}{n_1}\sin (\alpha )$$

где $n_1$ - показатель преломления среды, из которой свет падает (в данном случае вода), $n_2$ - показатель преломления среды, в которую свет попадает (в данном случае воздух), $\alpha$ - угол падения.

В данной задаче вода является средой с показателем преломления $n_1=1.33$, а воздух считается средой с показателем преломления $n_2=1$, так как показатель преломления воздуха примерно равен 1.

Так как свет падает на поверхность воды из-под диска на дне водоема, угол падения $\alpha$ равен ${90}^{\circ }$, а угол падения $\theta$ равен предельному углу полного внутреннего отражения.

Таким образом, мы можем применить закон Снеллиуса:

$$\sin (\theta )=\frac{n_2}{n_1}\sin (\alpha )=\frac{1}{1.33}\sin ({90}^{\circ })$$

Поскольку $\sin ({90}^{\circ })=1$, получаем:

$$\sin (\theta )=\frac{1}{1.33}$$

Теперь мы можем найти значение предельного угла полного внутреннего отражения $\theta$:

$$\theta =\arcsin \left(\frac{1}{1.33}\right)$$
$$\theta \approx {48.75}^{\circ }$$

Так как угол падения равен ${90}^{\circ }$, угол преломления будет равен ${90}^{\circ }-\theta$:

$$\text{Угол преломления}={90}^{\circ }-{48.75}^{\circ }={41.25}^{\circ }$$

Теперь, используя закон преломления Снеллиуса, мы можем вычислить суммарный угол преломления света при его попадании в воду и выходе обратно в воздух. Суммарный угол будет равен $2\times \text{Угол преломления}$:

$2\times {41.25}^{\circ }={82.5}^{\circ }$

Таким образом, для того чтобы свет не выходил из воды, минимальный радиус непрозрачного диска должен быть таким, чтобы предельный угол полного внутреннего отражения был равен ${48.75}^{\circ }$, и угол падения равен ${90}^{\circ }$.