Каков будет период колебаний дисков, если они повернуты на небольшие углы в противоположных направлениях и затем

Для того чтобы найти период колебаний дисков, мы можем использовать следующую формулу для колебательного движения:

\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{k}} \]

где \( T \) - период колебаний, \( \pi \) - математическая константа (около 3.14159), \( I \) - момент инерции системы, и \( k \) - крутильная жесткость пружины.

Для начала, найдем момент инерции системы. Момент инерции для каждого диска можно вычислить с использованием формулы:

\[ I = \frac{1}{2} m r^2 \]

где \( m \) - масса диска, \( r \) - радиус диска.

Чтобы вычислить массу диска, нам понадобится объем диска. Объем диска можно вычислить с использованием формулы объема цилиндра:

\[ V = \pi r^2 h \]

где \( h \) - высота цилиндра, в данном случае это расстояние от центра диска до оси.

Найдем массу диска с использованием плотности материала:

\[ m = \rho V \]

где \( \rho \) - плотность материала диска.

Теперь, имея значения массы и радиуса дисков, можем вычислить моменты инерции первого и второго дисков, обозначим их \( I_1 \) и \( I_2 \) соответственно.

Для расчета эффективного момента инерции системы, так как диски выведены на поворот на небольшие углы в противоположных направлениях, надо привести моменты инерции дисков к общему центру вращения. Применяя теорему Гюйгенса-Штейнера:

\[ I_{\text{эфф}} = I_1 + I_2 + m_1 d_1^2 + m_2 d_2^2 \]

где \( I_{\text{эфф}} \) - эффективный момент инерции системы, \( d_1 \) и \( d_2 \) - расстояния от центра масс каждого диска до общей оси вращения.

Теперь, имея значение эффективного момента инерции системы и значение крутильной жесткости пружины, можем расчитать период колебаний дисков с использованием формулы:

\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{I_{\text{эфф}}}{k}} \]

Подставим известные значения:

Радиус первого диска, \( R_1 = 20 \) см

Радиус второго диска, \( R_2 = 10 \) см

Крутильная жесткость пружины, \( D = 20 \) Н ‧м/рад

Расстояние от центра диска до оси: \( N_1 = N_2 = 2 \) см

Плотность материала дисков, \( \rho = 7 \) г/см³

Вычислим массы дисков:

Масса первого диска, \( m_1 = \rho \cdot \pi \cdot R_1^2 \cdot h \)

Масса второго диска, \( m_2 = \rho \cdot \pi \cdot R_2^2 \cdot h \)

Вычислим моменты инерции дисков:

Момент инерции первого диска, \( I_1 = \frac{1}{2} m_1 \cdot R_1^2 \)

Момент инерции второго диска, \( I_2 = \frac{1}{2} m_2 \cdot R_2^2 \)

Вычислим эффективный момент инерции системы:

\( I_{\text{эфф}} = I_1 + I_2 + m_1 \cdot d_1^2 + m_2 \cdot d_2^2 \)

Где \( d_1 = N_1 + R_1 \) - расстояние от центра масс первого диска до общей оси вращения

\( d_2 = N_2 + R_2 \) - расстояние от центра масс второго диска до общей оси вращения

Наконец, вычислим период колебаний дисков:

\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{I_{\text{эфф}}}{k}} \]