Какое значение высоты h приведет к максимальной освещенности границы на круглой площадке радиуса r, где источник света

Хорошо, давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Шаг 1: Найдем производную формулы освещенности по высоте \( h \). Для этого используем правило дифференцирования для функции вида \( f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} \), где \( g(x) \) и \( h(x) \) - функции одной переменной \( x \).

В нашем случае, \( g(h) = k \cdot h \) и \( h(h) = (h^2 + r^2)^{3/2} \).

Продифференцируем \( g(h) \) и \( h(h) \) по \( h \), используя правило дифференцирования степенной функции и правило дифференцирования произведения:

\[
\frac{dg}{dh} = k, \quad \frac{dh}{dh} = \frac{3}{2}(h^2 + r^2)^{1/2} \cdot 2h = 3h(h^2 + r^2)^{1/2}
\]

Шаг 2: Теперь возьмем производную \( e \) по \( h \). Для этого воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции:

\[
\frac{de}{dh} = \frac{dg}{dh} \cdot \frac{1}{h(h^2 + r^2)^{3/2}} - \frac{g(h)}{h^2 + r^2} \cdot \frac{dh}{dh}
\]

Подставим значения производных, которые мы нашли на предыдущем шаге:

\[
\frac{de}{dh} = k \cdot \frac{1}{h(h^2 + r^2)^{3/2}} - \frac{k \cdot h}{h^2 + r^2} \cdot 3h(h^2 + r^2)^{1/2}
\]

Шаг 3: Упростим полученное выражение:

\[
\frac{de}{dh} = \frac{k}{h(h^2 + r^2)^{3/2}} - \frac{3k \cdot h^2}{(h^2 + r^2)^{3/2}}
\]

Шаг 4: Найдем точку экстремума, приравняв производную к нулю и решив уравнение относительно \( h \):

\[
\frac{k}{h(h^2 + r^2)^{3/2}} - \frac{3k \cdot h^2}{(h^2 + r^2)^{3/2}} = 0
\]

\[
\frac{k}{h(h^2 + r^2)^{3/2}} = \frac{3k \cdot h^2}{(h^2 + r^2)^{3/2}}
\]

\[
\frac{1}{h} = \frac{3h^2}{h^2 + r^2}
\]

\[
h^2 + r^2 = 3h^3
\]

\[
3h^3 - h^2 - r^2 = 0
\]

Шаг 5: Решим полученное кубическое уравнение. Увы, формула решения кубического уравнения в общем виде достаточно сложна, и нет простого способа найти его корни аналитически. Однако, мы можем использовать численные методы для нахождения корней этого уравнения, например, метод Ньютона.

Шаг 6: Выполним численные вычисления, чтобы найти корни уравнения и определить значение \( h \), которое приведет к максимальной освещенности границы площадки.

Итак, решив уравнение \( 3h^3 - h^2 - r^2 = 0 \) численно или графически, мы найдем значения \( h \), которые будут удовлетворять этому уравнению и определять максимальную освещенность границы площадки.