Какое значение сопротивления прибора требуется для достижения максимальной выделенной мощности, если его потребляемая

Для начала, давайте рассмотрим схему, чтобы уяснить ситуацию. У нас есть источник тока, который обладает внутренним сопротивлением \(R_{\text{внутр}} = 2 \, \text{Ом}\), и мы хотим найти значение сопротивления (\(R_{\text{нагр}}\)) для достижения максимальной выделенной мощности. Пусть прибор имеет потребляемую мощность \(P_{\text{потр}} = 9 \, \text{Вт}\).

Сначала найдем выделенную мощность (\(P_{\text{выд}}\)), используя формулу:

\[P_{\text{выд}} = \frac{{V^2}}{{R_{\text{внутр}} + R_{\text{нагр}}}}\]

где \(V\) - напряжение источника тока. В нашем случае \(V = 9 \, \text{В}\):

\[P_{\text{выд}} = \frac{{9^2}}{{2 + R_{\text{нагр}}}}\]

Теперь нам нужно найти значение сопротивления нагрузки (\(R_{\text{нагр}}\)), при котором выделенная мощность будет максимальной. Для этого мы должны продифференцировать \(P_{\text{выд}}\) по \(R_{\text{нагр}}\) и приравнять производную к нулю:

\[\frac{{dP_{\text{выд}}}}{{dR_{\text{нагр}}}} = 0\]

Максимум выделенной мощности будет достигаться при этом значении сопротивления нагрузки.

Давайте продифференцируем \(P_{\text{выд}}\):

\[\frac{{dP_{\text{выд}}}}{{dR_{\text{нагр}}}} = \frac{{-9^2}}{{(2 + R_{\text{нагр}})^2}} = 0\]

Теперь решим это уравнение. Раскроем скобки и приведем выражение к более простому виду:

\[81 = 4 + 4R_{\text{нагр}} + R_{\text{нагр}}^2\]

\[R_{\text{нагр}}^2 + 4R_{\text{нагр}} - 77 = 0\]

Мы можем решить это квадратное уравнение, используя формулу дискриминанта:

\[D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-77) = 4^2 + 4 \cdot 77 = 16 + 308 = 324\]

Так как дискриминант положительный, у нас есть два корня:

\[R_{\text{нагр}1,2} = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{{2a}} = \frac{{-4 \pm \sqrt{324}}}{{2}}\]

\[R_{\text{нагр}1,2} = \frac{{-4 \pm 18}}{{2}}\]

\[R_{\text{нагр}1} = \frac{{-4 + 18}}{{2}} = 7 \, \text{Ом}\]

\[R_{\text{нагр}2} = \frac{{-4 - 18}}{{2}} = -11 \, \text{Ом}\]

Так как сопротивление не может быть отрицательным, мы выбираем положительное значение \(R_{\text{нагр}1} = 7 \, \text{Ом}\).

Теперь мы можем найти максимальное значение мощности (\(P_{\text{макс}}\)):

\[P_{\text{макс}} = \frac{{9^2}}{{2 + 7}} = \frac{{81}}{{9}} = 9 \, \text{Вт}\]

Итак, максимальная выделенная мощность равна \(9 \, \text{Вт}\), и она достигается при значении сопротивления нагрузки \(R_{\text{нагр}} = 7 \, \text{Ом}\).