Какое значение параметра k обеспечит наибольшую сумму квадратов корней уравнения x2−2kx+52k2+8k=0? Ответить

Для того чтобы найти значение параметра \( k \) , которое обеспечит наибольшую сумму квадратов корней уравнения \( x^2 - 2kx + 52k^2 + 8k = 0 \), мы можем использовать метод завершения квадрата и затем применить квадратное уравнение.

Шаг 1: Для начала, перепишем уравнение в виде завершённого квадрата.
Мы видим, что первые два слагаемых (\( x^2 - 2kx \)) могут быть приведены в виду квадрата, добавив "завершения квадрата" (\( (x - k)^2 \)).
Таким образом, уравнение можно переписать следующим образом:
\[ (x - k)^2 + 52k^2 + 8k = 0 \]

Шаг 2: Раскроем скобку и упростим уравнение:
\[ x^2 - 2kx + k^2 + 52k^2 + 8k = 0 \]
\[ x^2 - (2k)x + (53k^2 + 8k) = 0 \]

Шаг 3: Теперь имеем квадратное уравнение вида \( Ax^2 + Bx + C = 0 \).
\[ A = 1, B = -2k, C = (53k^2 + 8k) \]

Шаг 4: Используя формулу дискриминанта, найдем дискриминант квадратного уравнения:
\[ D = B^2 - 4AC \]
\[ D = (-2k)^2 - 4(1)(53k^2 + 8k) \]

Шаг 5: Упростим выражение:
\[ D = 4k^2 - 212k^2 - 32k \]
\[ D = -208k^2 - 32k \]

Шаг 6: Чтобы найти наибольшую сумму квадратов корней, необходимо найти такое значение \( k \), при котором дискриминант \( D \) будет максимальным.

Обоснование:
Квадратное уравнение имеет два корня, и сумма этих корней равна \(-\frac{B}{A}\).
Таким образом, чтобы сумма квадратов корней была максимальной, мы хотим, чтобы значение \(-\frac{B}{A}\) было наибольшим, что соответствует максимальному значению дискриминанта \( D \).

Шаг 7: Найдем максимальное значение дискриминанта, продолжая упрощать выражение:
Чтобы найти экстремум \( D \), найдем производную \( D \) по \( k \) и прировняем ее к нулю:
\[ \frac{{dD}}{{dk}} = -416k - 32 = 0 \]
\[ -416k = 32 \]
\[ k = -\frac{32}{416} \]
\[ k = -\frac{4}{52} \]
\[ k = -\frac{1}{13} \]

Шаг 8: Подставим найденное значение \( k \) в исходное уравнение и найдем сумму квадратов корней:
\[ (x - (-\frac{1}{13}))^2 + 52(-\frac{1}{13})^2 + 8(-\frac{1}{13}) = 0 \]
\[ (x + \frac{1}{13})^2 - \frac{52}{169} - \frac{8}{13} = 0 \]
\[ (x + \frac{1}{13})^2 = \frac{52}{169} + \frac{8}{13} \]
\[ (x + \frac{1}{13})^2 = \frac{52}{169} + \frac{104}{169} \]
\[ (x + \frac{1}{13})^2 = \frac{156}{169} \]

Шаг 9: Исходя из уравнения, мы видим, что сумма квадратов корней будет максимальной, когда квадрат \( (x + \frac{1}{13})^2 \) равен максимальному значению, то есть когда \( x \) равно нулю. Таким образом, сумма квадратов корней будет равна:
\[ (0 + \frac{1}{13})^2 = \frac{1}{169} \]

Таким образом, значение параметра \( k \), при котором сумма квадратов корней максимальна, равно \( -\frac{1}{13} \), а сама сумма квадратов корней равна \( \frac{1}{169} \).