Какое значение омического сопротивления должно быть добавлено в контур, чтобы достичь уменьшения резонансной частоты

Для начала, нам необходимо определить формулу, связывающую ёмкость, индуктивность и резонансную частоту. Формула для резонансной частоты \(f\) незатухающих колебаний в колебательном контуре равна:

\[f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\]

где \(L\) - индуктивность, а \(C\) - ёмкость.

Мы можем использовать эту формулу, чтобы найти изначальную резонансную частоту, когда нет добавленного омического сопротивления. Подставим заданные значения в формулу:

\[f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{(10 \cdot 10^{-3})(1 \cdot 10^{-6})}}\]

Вычислим \(f_0\):

\[f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{10^{-5}}} = \frac{1}{2\pi \cdot 0.003162} \approx 50.33 \text{ Гц}\]

Теперь, чтобы уменьшить резонансную частоту на 0.01%, мы должны добавить омическое сопротивление \(R\) к контуру. Мы можем использовать изменение резонансной частоты, связанное с изменением омического сопротивления, выраженное через относительное изменение резонансной частоты \(\Delta f_r\), формулой:

\[\Delta f_r = -\frac{\Delta R}{2\pi\sqrt{LC}}\]

где \(\Delta R\) - изменение омического сопротивления. Мы знаем, что \(\Delta f_r = -0.01\% \cdot f_0\). Подставим известные значения в формулу:

\[-0.01\% \cdot f_0 = -\frac{\Delta R}{2\pi\sqrt{(10 \cdot 10^{-3})(1 \cdot 10^{-6})}}\]

Решим это уравнение для \(\Delta R\):

\[\Delta R = -0.01\% \cdot f_0 \cdot 2\pi\sqrt{LC}\]

\[\Delta R = -0.0001 \cdot 50.33 \cdot 2\pi\sqrt{10^{-5}} \approx -0.0318 \Omega\]

Так как мы хотим уменьшить резонансную частоту, добавляемое омическое сопротивление должно быть положительным. Мы можем примерно округлить значение до \(0.032 \Omega\) для получения самого близкого значения омического сопротивления, необходимого для достижения уменьшения резонансной частоты на 0.01%.