Какое значение n удовлетворяет равенству [tex]132n +13_{восьми} =124_{n+1}[/tex]?

Чтобы найти значение \(n\), удовлетворяющее данному равенству, мы будем использовать метод последовательного тестирования различных значений \(n\).

Данное равенство содержит числа в различных системах счисления: восьмеричной и \(n+1\)-ной. Для удобства решения, распишем все числа в десятичной системе счисления:

\[132n + 13_{8} = 124_{n+1}\]

Перед тем, как мы начнем, давайте вспомним, что означает запись числа в системе счисления. Например, число \(13_8\) означает \(1\) умножить на \(8^1\) плюс \(3\) умножить на \(8^0\). Таким образом, мы получаем:

\[13_8 = 1 \cdot 8^1 + 3 \cdot 8^0 = 8 + 3 = 11\]

Аналогично, число \(124_{n+1}\) означает \(1\) умножить на \((n+1)^2\) плюс \(2\) умножить на \((n+1)^1\) плюс \(4\) умножить на \((n+1)^0\).

Итак, наше равенство принимает вид в десятичной системе:

\[132n + 11 = 1 \cdot (n+1)^2 + 2 \cdot (n+1)^1 + 4 \cdot (n+1)^0\]

Давайте перепишем это уравнение более детально:

\[132n + 11 = (n+1)^2 + 2(n+1) + 4\]

Раскроем скобки:

\[132n + 11 = n^2 + 2n + 1 + 2n + 2 + 4\]

Упростим выражение:

\[132n + 11 = n^2 + 4n + 7\]

Положим выражение равным нулю:

\[n^2 + 4n - 132n + 7 - 11 = 0\]

\[n^2 - 128n - 4 = 0\]

Теперь можем применить квадратное уравнение:

\[n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

Где \(a = 1\), \(b = -128\), и \(c = -4\).

\[n = \frac{-(-128) \pm \sqrt{(-128)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1}\]

\[n = \frac{128 \pm \sqrt{16384 + 16}}{2}\]

\[n = \frac{128 \pm \sqrt{16384 + 16}}{2}\]

\[n = \frac{128 \pm \sqrt{16400}}{2}\]

\[n = \frac{128 \pm 128}{2}\]

Теперь найдем два возможных значения \(n\):

1. Подставляя \(n = \frac{128 + 128}{2} = \frac{256}{2} = 128\) в уравнение, мы получаем:

\[132 \cdot 128 + 13_8 = 124_{129}\]

\[16896 + 13 = 124_{129}\]

\[16909 = 124_{129}\]

У нас есть равенство, поэтому \(n = 128\) - одно из возможных решений.

2. Подставляя \(n = \frac{128 - 128}{2} = \frac{0}{2} = 0\) в уравнение, мы получаем:

\[132 \cdot 0 + 13_8 = 124_{1}\]

\[0 + 13 = 124_{1}\]

\[13 = 124_{1}\]

У нас нет равенства, поэтому \(n = 0\) не является решением.

Таким образом, ответ на задачу: значение \(n\), удовлетворяющее данному равенству, равно \(n = 128\).