Какое значение имеет масса поршня, обозначенная как m, в вертикально расположенном цилиндре с гладкими внутренними

Для решения этой задачи мы можем использовать законы идеального газа и закон Архимеда. Давайте разберемся в каждом шаге подробно.

1. Сначала рассмотрим закон Архимеда. Он гласит, что любое тело, погруженное в жидкость или газ, испытывает всплытие с силой, равной весу вытесненного объема жидкости или газа. В данной задаче поршень погружен в газ, поэтому мы можем использовать этот закон.

2. Определим вес вытесненного газа. Вес газа можно выразить как произведение его молярной массы на количество вещества. Молярная масса вычисляется как отношение массы газа к его количество вещества.

Выразим молярную массу через массу газа и количество вещества:
\[ M = \frac{m}{n} \]

Где:
\( M \) - молярная масса,
\( m \) - масса газа,
\( n \) - количество вещества.

Масса газа равна массе поршня \( m \). Количество вещества газа равняется указанному значению 0,05 моля.

3. Закон идеального газа связывает давление, объем и температуру газа. Формула закона идеального газа имеет вид:
\[ PV = nRT \]

Где:
\( P \) - давление газа,
\( V \) - объем газа,
\( n \) - количество вещества газа,
\( R \) - универсальная газовая постоянная,
\( T \) - температура газа в абсолютной шкале (Кельвинах).

В нашем случае давление газа можно принять равным давлению снаружи, которое считается малым. Объем газа равен объему цилиндра, описанного в условии задачи.

4. Преобразуем формулу закона идеального газа для выражения давления:
\[ P = \frac{nRT}{V} \]

5. Рассмотрим силы, действующие на поршень. Сила Архимеда (поддерживающая поршень) равна весу вытесненного газа:
\[ F_A = \rho V g \]

Где:
\( F_A \) - сила Архимеда,
\( \rho \) - плотность газа (можно считать постоянной),
\( V \) - объем газа,
\( g \) - ускорение свободного падения.

6. Предполагая, что поршень находится в равновесии и не движется, сумма сил, действующих на поршень, равна нулю. Это означает, что сила Архимеда равна силе тяжести поршня:
\[ F_A = m g \]

Где:
\( m \) - масса поршня.

7. Приравнивая формулы для силы Архимеда, получим:
\[ \rho V g = m g \]

Плотность газа \( \rho \) и ускорение свободного падения \( g \) можно считать известными.

8. Заменим объем газа \( V \) на выражение через высоту положения поршня \( h \):
\[ V = S h \]

Где:
\( S \) - площадь поперечного сечения цилиндра.

9. Подставим это выражение в уравнение силы Архимеда:
\[ \rho S h g = m g \]

Сократим \( g \):
\[ \rho S h = m \]

Расположив \( h \) и \( m \) на одной стороне, а все остальное на другой, получим искомое значение массы поршня \( m \):
\[ m = \rho S h \]

Теперь мы можем двигаться дальше и вычислить значение массы поршня. Однако мы также хотим построить график зависимости высоты положения поршня от температуры газа. Для этого нам потребуется закон Бойля-Мариотта, который описывает зависимость между объемом и давлением газа при постоянной температуре.

\[ P_1 V_1 = P_2 V_2 \]

Где:
\( P_1 \) и \( P_2 \) - давление газа в начальном и конечном состояниях,
\( V_1 \) и \( V_2 \) - объем газа в начальном и конечном состояниях.

Мы можем использовать этот закон для выражения объема газа через высоту положения поршня и температуру газа.

10. Пусть высота положения поршня при начальной температуре будет обозначена как \( h_1 \), а при конечной температуре - \( h_2 \). Тогда:

\[ V_1 = S h_1 \]
\[ V_2 = S h_2 \]

11. Подставим эти значения в закон Бойля-Мариотта:

\[ P_1 S h_1 = P_2 S h_2 \]

Сократим \( S \):

\[ P_1 h_1 = P_2 h_2 \]

И теперь мы можем записать выражение для \( h_2 \):

\[ h_2 = \frac{{P_1 h_1}}{{P_2}} \]

Теперь у нас есть выражение для вычисления значения высоты положения поршня при заданной температуре. Это поможет нам построить график зависимости высоты от температуры, если мы знаем начальное значение \( h_1 \) и \( P_1 \).

Для получения окончательного ответа, вам потребуется знать плотность газа \( \rho \), площадь поперечного сечения цилиндра \( S \), начальную высоту поршня \( h_1 \), начальную температуру газа \( T_1 \) и значения \( P_1 \) и \( P_2 \) (давление газа при начальной и конечной температурах). Подставьте эти значения в соответствующие формулы и вычислите результаты.

Например, если у нас есть \( \rho = 1,2 \, \text{кг/м}^3 \), \( S = 0,2 \, \text{м}^2 \), \( h_1 = 2 \, \text{м} \), \( T_1 = 127 + 273 = 400 \, \text{K} \), \( P_1 = 101300 \, \text{Па} \) и \( P_2 = 2000 \, \text{Па} \), то

\[ m = 1,2 \times 0,2 \times 2 = 0,48 \, \text{кг} \]
\[ h_2 = \frac{{101300 \times 2}}{{2000}} = 101,3 \, \text{м} \]