Какое значение имеет масса поршня, обозначенная как m, в вертикально расположенном цилиндре с гладкими внутренними

Для решения этой задачи мы можем использовать законы идеального газа и закон Архимеда. Давайте разберемся в каждом шаге подробно.

1. Сначала рассмотрим закон Архимеда. Он гласит, что любое тело, погруженное в жидкость или газ, испытывает всплытие с силой, равной весу вытесненного объема жидкости или газа. В данной задаче поршень погружен в газ, поэтому мы можем использовать этот закон.

2. Определим вес вытесненного газа. Вес газа можно выразить как произведение его молярной массы на количество вещества. Молярная масса вычисляется как отношение массы газа к его количество вещества.

Выразим молярную массу через массу газа и количество вещества:
$$M=\frac{m}{n}$$

Где:
$M$ - молярная масса,
$m$ - масса газа,
$n$ - количество вещества.

Масса газа равна массе поршня $m$. Количество вещества газа равняется указанному значению 0,05 моля.

3. Закон идеального газа связывает давление, объем и температуру газа. Формула закона идеального газа имеет вид:
$$PV=nRT$$

Где:
$P$ - давление газа,
$V$ - объем газа,
$n$ - количество вещества газа,
$R$ - универсальная газовая постоянная,
$T$ - температура газа в абсолютной шкале (Кельвинах).

В нашем случае давление газа можно принять равным давлению снаружи, которое считается малым. Объем газа равен объему цилиндра, описанного в условии задачи.

4. Преобразуем формулу закона идеального газа для выражения давления:
$$P=\frac{nRT}{V}$$

5. Рассмотрим силы, действующие на поршень. Сила Архимеда (поддерживающая поршень) равна весу вытесненного газа:
$$F_A=\rho Vg$$

Где:
$F_A$ - сила Архимеда,
$\rho$ - плотность газа (можно считать постоянной),
$V$ - объем газа,
$g$ - ускорение свободного падения.

6. Предполагая, что поршень находится в равновесии и не движется, сумма сил, действующих на поршень, равна нулю. Это означает, что сила Архимеда равна силе тяжести поршня:
$$F_A=mg$$

Где:
$m$ - масса поршня.

7. Приравнивая формулы для силы Архимеда, получим:
$$\rho Vg=mg$$

Плотность газа $\rho$ и ускорение свободного падения $g$ можно считать известными.

8. Заменим объем газа $V$ на выражение через высоту положения поршня $h$:
$$V=Sh$$

Где:
$S$ - площадь поперечного сечения цилиндра.

9. Подставим это выражение в уравнение силы Архимеда:
$$\rho Shg=mg$$

Сократим $g$:
$$\rho Sh=m$$

Расположив $h$ и $m$ на одной стороне, а все остальное на другой, получим искомое значение массы поршня $m$:
$$m=\rho Sh$$

Теперь мы можем двигаться дальше и вычислить значение массы поршня. Однако мы также хотим построить график зависимости высоты положения поршня от температуры газа. Для этого нам потребуется закон Бойля-Мариотта, который описывает зависимость между объемом и давлением газа при постоянной температуре.

$$P_1{V}_1=P_2{V}_2$$

Где:
$P_1$ и $P_2$ - давление газа в начальном и конечном состояниях,
$V_1$ и $V_2$ - объем газа в начальном и конечном состояниях.

Мы можем использовать этот закон для выражения объема газа через высоту положения поршня и температуру газа.

10. Пусть высота положения поршня при начальной температуре будет обозначена как $h_1$, а при конечной температуре - $h_2$. Тогда:

$$V_1=S{h}_1$$
$$V_2=S{h}_2$$

11. Подставим эти значения в закон Бойля-Мариотта:

$$P_{1}S{h}_1=P_{2}S{h}_2$$

Сократим $S$:

$$P_1{h}_1=P_2{h}_2$$

И теперь мы можем записать выражение для $h_2$:

$$h_2=\frac{P_1{h}_1}{P_2}$$

Теперь у нас есть выражение для вычисления значения высоты положения поршня при заданной температуре. Это поможет нам построить график зависимости высоты от температуры, если мы знаем начальное значение $h_1$ и $P_1$.

Для получения окончательного ответа, вам потребуется знать плотность газа $\rho$, площадь поперечного сечения цилиндра $S$, начальную высоту поршня $h_1$, начальную температуру газа $T_1$ и значения $P_1$ и $P_2$ (давление газа при начальной и конечной температурах). Подставьте эти значения в соответствующие формулы и вычислите результаты.

Например, если у нас есть $\rho =1,2{\text{кг/м}}^3$, $S=0,2{\text{м}}^2$, $h_1=2\text{м}$, $T_1=127+273=400\text{K}$, $P_1=101300\text{Па}$ и $P_2=2000\text{Па}$, то

$$m=1,2\times 0,2\times 2=0,48\text{кг}$$
$$h_2=\frac{101300\times 2}{2000}=101,3\text{м}$$