Какое значение функции y=(x^2+18x-18)e^x будет наименьшим?

Для нахождения наименьшего значения функции y=(x^2+18x-18)e^x, мы будем использовать метод дифференцирования и нахождения экстремумов функции.

Шаг 1: Найдем производную данной функции. Чтобы продифференцировать произведение двух функций, мы будем использовать правило производной для произведения функций, которое гласит, что производная произведения функций равна произведению производной первой функции и второй функции плюс произведение первой функции и производной второй функции.

Продифференцируем функцию y=(x^2+18x-18)e^x:

\[y"=(x^2+18x-18)(e^x)" + (x^2+18x-18)"e^x\]

Дифференцируем каждое слагаемое по отдельности.

Производная первого слагаемого (x^2+18x-18):

\[(x^2+18x-18)"=2x+18\]

Производная второго слагаемого (e^x):

\[(e^x)"=e^x\]

Шаг 2: Подставим производные в формулу произведения производных:

\[y"=(x^2+18x-18)(e^x)"+ (2x+18)e^x\]

Шаг 3: Упростим полученное выражение:

\[y"=(x^2+18x-18)e^x+ (2x+18)e^x\]

\[y"=(x^2+18x-18+2x+18)e^x\]

\[y"=(x^2+20x)e^x\]

Шаг 4: Решим уравнение y"=0, чтобы найти точки экстремума функции. Условие \(y"=0\) говорит о том, что производная функции равна нулю в таких точках.

\[0=(x^2+20x)e^x\]

Так как \[e^x\] всегда положительно, уравнение будет равно нулю только тогда, когда \[(x^2+20x)=0\].

Шаг 5: Решим полученное уравнение:

\[x^2+20x=0\]

\[x(x+20)=0\]

\[x=0 \quad \text{или} \quad x=-20\]

Шаг 6: Найдем вторую производную для проверки найденных точек экстремума. Для этого продифференцируем производную функции:

\[y""=(x^2+20x)"e^x+(x^2+20x)e^x\]

\[y""=(2x+20)e^x+(x^2+20x)e^x\]

\[y""=(x^2+22x+20)e^x\]

Шаг 7: Подставим найденные точки экстремума во вторую производную функции:

\[y""(x=0)=(0^2+22\cdot0+20)e^0=20\]

\[y""(x=-20)=((-20)^2+22(-20)+20)e^{-20}=80e^{-20}\]

Шаг 8: Изучим полученные значения второй производной. Если значение второй производной больше нуля, то это указывает на минимум функции при соответствующей точке. Если значение второй производной меньше нуля, то это указывает на максимум функции при соответствующей точке. Если значение второй производной равно нулю, то это говорит о том, что точка не является экстремумом.

Подставим значения:

Для точки x=0: y""(x=0)=20. Значение положительное, поэтому это указывает на минимум функции.

Для точки x=-20: y""(x=-20)=80e^{-20}. Значение положительное, поэтому это также указывает на минимум функции.

Шаг 9: Таким образом, наименьшее значение функции составит y=(0^2+18\cdot0-18)e^0=-18.

Ответ: Наименьшее значение функции y=(x^2+18x-18)e^x равно -18.