Какое значение функции [tex]y=3x^{4} -10x^{3} +30[/tex] является наименьшим? Просьба выполнить до завтра как можно

Для решения данной задачи, следует использовать понятие экстремума функции. Чтобы найти минимальное значение функции \(y = 3x^4 - 10x^3 + 30\), мы должны найти точку экстремума, в данном случае, минимума.

Шаг 1: Найдем производную функции \(y\) по переменной \(x\). Производная покажет нам, как функция меняется при изменении \(x\).

Для этого воспользуемся правилами дифференцирования степенной функции и суммы функций:

\[
y" = \frac{d}{dx}(3x^4) - \frac{d}{dx}(10x^3) + \frac{d}{dx}(30)
\]

Продифференцируем каждое слагаемое по очереди:

\[
y" = 12x^3 - 30x^2
\]

Шаг 2: Найдем значения \(x\), для которых производная \(y"\) равна нулю, так как экстремум обычно соответствует нулю производной.

\[
12x^3 - 30x^2 = 0
\]

Факторизуем уравнение:

\[
6x^2(2x - 5) = 0
\]

По свойству произведения равного нулю, справедливо следующее:

\[
6x^2 = 0 \quad \text{или} \quad 2x - 5 = 0
\]

\[
x = 0 \quad \text{или} \quad x = \frac{5}{2}
\]

Шаг 3: Чтобы определить, является ли найденная точка экстремума минимумом или максимумом, нужно проанализировать вторую производную.

Вычислим вторую производную:

\[
y"" = \frac{d^2}{dx^2}(12x^3 -30x^2)
\]

Воспользовавшись правилом дифференцирования степенной функции, получим:

\[
y"" = 36x^2 - 60x
\]

Шаг 4: Подставим найденные значения \(x\) во вторую производную:

\[
y""(0) = 36(0)^2 - 60(0) = 0
\]

\[
y""\left(\frac{5}{2}\right) = 36\left(\frac{5}{2}\right)^2 - 60\left(\frac{5}{2}\right) > 0
\]

Так как значение второй производной при \(x = \frac{5}{2}\) больше нуля, а \(y""(0) = 0\), мы можем сделать вывод, что для \(x = \frac{5}{2}\) функция \(y\) достигает минимума.

Шаг 5: Найдем значение \(y\) при \(x = \frac{5}{2}\) подставив \(x\) в исходное уравнение:

\[
y = 3\left(\frac{5}{2}\right)^4 - 10\left(\frac{5}{2}\right)^3 + 30
\]

\[
y = \frac{375}{16} - \frac{625}{8} + 30
\]

\[
y = \frac{375}{16} - \frac{1250}{16} + \frac{480}{16} = \frac{480 - 1250 + 375}{16}
\]

\[
y = \frac{-395}{16}
\]

Таким образом, минимальное значение функции \(y = 3x^4 - 10x^3 + 30\) равно \(-\frac{395}{16}\).

Надеюсь, это поможет вам понять, как получить минимальное значение функции. Если есть еще вопросы, не стесняйтесь спрашивать!