Какое значение ∛-8i имеет наименьшее главное значение аргумента?
Зимний_Мечтатель
Чтобы найти значение \(\sqrt[3]{-8i}\) с наименьшим главным аргументом, давайте сначала представим комплексное число \(-8i\) в тригонометрической форме. Зная, что \(i\) — мнимая единица, мы можем записать \(8i\) как \(8 \cdot i = 8 \cdot e^{i \frac{\pi}{2}}\), где \(e^{i \theta}\) обозначает комплексное число в тригонометрической форме с аргументом \(\theta\).
Теперь найдем третий корень из \(8 \cdot e^{i \frac{\pi}{2}}\). Когда мы вычисляем корень в тригонометрической форме, мы просто берем третий корень из модуля числа и делаем деление аргумента на 3. В этом случае мы получим:
\[\sqrt[3]{8 \cdot e^{i \frac{\pi}{2}}} = \sqrt[3]{8} \cdot e^{i \frac{\frac{\pi}{2}}{3}} = 2 \cdot e^{i \frac{\pi}{6}}\]
Таким образом, значение \(\sqrt[3]{-8i}\) с наименьшим главным аргументом равно \(2 \cdot e^{i \frac{\pi}{6}}\). Ответом для школьника будет \(2 \cdot \cos(\frac{\pi}{6}) + 2i \cdot \sin(\frac{\pi}{6})\) или \(2 \cdot \frac{√3}{2} + 2i \cdot \frac{1}{2} = √3 + i\).
Теперь найдем третий корень из \(8 \cdot e^{i \frac{\pi}{2}}\). Когда мы вычисляем корень в тригонометрической форме, мы просто берем третий корень из модуля числа и делаем деление аргумента на 3. В этом случае мы получим:
\[\sqrt[3]{8 \cdot e^{i \frac{\pi}{2}}} = \sqrt[3]{8} \cdot e^{i \frac{\frac{\pi}{2}}{3}} = 2 \cdot e^{i \frac{\pi}{6}}\]
Таким образом, значение \(\sqrt[3]{-8i}\) с наименьшим главным аргументом равно \(2 \cdot e^{i \frac{\pi}{6}}\). Ответом для школьника будет \(2 \cdot \cos(\frac{\pi}{6}) + 2i \cdot \sin(\frac{\pi}{6})\) или \(2 \cdot \frac{√3}{2} + 2i \cdot \frac{1}{2} = √3 + i\).
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
