Какое время T прошло после удара, когда шарик в первый раз остановился, и какая будет амплитуда его последующих

Для решения данной задачи, нам понадобятся следующие данные:

Масса \( m \) шарика,
Угловая скорость \( \omega \) шарика,
Длина пружины \( l \),
Жесткость пружины \( k \).

При ударе шарика начинается гармоническое колебание, и чтобы определить время \( T \), прошедшее после удара, когда шарик впервые остановился, мы можем использовать закон сохранения энергии.

Начальная потенциальная энергия шарика преобразуется в его кинетическую энергию при движении, а затем снова обратно в потенциальную энергию, когда шарик останавливается. Мы можем записать это соотношение следующим образом:

\[\frac{1}{2} k A^2 = \frac{1}{2} m v^2\]

Здесь \( A \) - амплитуда колебаний, \( v \) - скорость шарика при остановке.

Мы также можем выразить скорость шарика при остановке через амплитуду и угловую скорость, используя формулу:

\( v = \omega A \)

Подставив выражение для \( v \) в первое уравнение, получим:

\[\frac{1}{2} k A^2 = \frac{1}{2} m (\omega A)^2\]

Упростим это уравнение:

\[k A^2 = m \omega^2 A^2\]

После сокращения \( A^2 \) и переноса \( m \) и \( \omega^2 \) в одну сторону, получим:

\[\frac{k}{m} = \omega^2\]

Так как мы знаем, что период \( T \) колебаний связан с угловой скоростью \( \omega \) следующим образом:

\( T = \frac{2\pi}{\omega} \)

Мы можем выразить время \( T \) из этого уравнения:

\[ T = \frac{2\pi}{\sqrt{\frac{k}{m}}}\]

Амплитуда колебаний \( A \) равна максимальному удалению шарика от положения равновесия, что в нашем случае является длиной пружины \( l \). Поскольку мы должны округлить ответ до целых значений, а длина пружины измеряется в сантиметрах, а не в метрах, амплитуду \( A \) можно выразить следующим образом:

\[ A = l \times 100 \]

Теперь мы можем вычислить значение времени \( T \) и амплитуды \( A \), зная значения массы шарика, угловой скорости, длины пружины и жесткости пружины.

Применим эти формулы к вашей конкретной задаче, чтобы получить численные значения времени \( T \) и амплитуды \( A \).