Какое утверждение является правильным? 1) Биссектриса равнобедренного треугольника совпадает с высотой, проведенной

Перед тем, как перейти к выбору правильного утверждения, давайте рассмотрим каждое утверждение по отдельности и обоснуем или опровергнем его.

1) Биссектриса равнобедренного треугольника совпадает с высотой, проведенной из той же вершины.

Чтобы проверить данное утверждение, рассмотрим пример равнобедренного треугольника. Пусть у нас есть треугольник ABC, где AB = AC. Чтобы найти биссектрису треугольника, нарисуем линию BD, которая делит угол B на два равных угла. Высота треугольника - это линия, проведенная из вершины треугольника (например, из точки A) перпендикулярно основанию (BC).

По определению биссектрисы, она делит противоположную сторону (AC) на две части, пропорциональные длинам остальных двух сторон (AB и BC). С другой стороны, по определению высоты, она перпендикулярна основанию (BC) и проходит через вершину треугольника (A).

Таким образом, биссектриса и высота треугольника - это разные линии. Утверждение 1 неверно.

2) Если угол треугольника равен 30 градусам, то одна из его сторон вдвое больше другой стороны.

В этом утверждении утверждается, что в треугольнике, у которого один из углов равен 30 градусам, одна из его сторон будет вдвое больше другой стороны. Для проверки этого утверждения рассмотрим пример треугольника со сторонами a, a и b.

Применим закон синусов для данного треугольника:

\[\frac{a}{\sin(30)} = \frac{b}{\sin(150)}\]

Заметим, что \(\sin(150) = \sin(180 - 30) = \sin(30)\), поэтому можно записать:

\[\frac{a}{\sin(30)} = \frac{b}{\sin(30)}\]

Из этого следует, что \(a = b\), то есть все стороны треугольника равны друг другу. Утверждение 2 неверно.

3) Сумма углов трапеции составляет 360 градусов.

Рассмотрим трапецию ABCD, где AB || CD. Углы треугольника ABC и CDA смежные и сумма их внутренних углов составляет 180 градусов. Также углы BCD и DAB являются смежными и также составляют 180 градусов.

Таким образом, сумма углов трапеции ABCD составляет 360 градусов. Утверждение 3 верно.

4) Если четырехугольник делится каждой из своих диагоналей на два равнобедренных треугольника, то эти диагонали перпендикулярны.

Рассмотрим четырехугольник ABCD, где AC и BD - диагонали. Предположим, что каждая диагональ делит четырехугольник на два равнобедренных треугольника (например, треугольники ABC и ACD, треугольники ABD и BCD).

Также предположим, что эти диагонали не являются перпендикулярными. В этом случае, углы ADC и BAC не будут дополнительными друг к другу, что противоречит предположению о равнобедренности треугольников ACD и ABC.

Таким образом, для того чтобы эти треугольники были равнобедренными, диагонали AC и BD должны быть перпендикулярными. Утверждение 4 верно.

Итак, после анализа каждого утверждения можем сделать следующий вывод:
- Утверждение 1 неверно, биссектриса равнобедренного треугольника не совпадает с высотой.
- Утверждение 2 неверно, стороны треугольника с углом 30 градусов могут быть равными.
- Утверждение 3 верно, сумма углов трапеции действительно составляет 360 градусов.
- Утверждение 4 верно, перпендикулярность диагоналей четырехугольника необходима для равнобедренности треугольников.

Таким образом, правильным утверждением является утверждение №3: "Сумма углов трапеции составляет 360 градусов."