Какое уравнение прямой проходит через среднюю линию трапеции ABCD, где A (1; 3), B (3; 1), C (5; 5) и D (7; 15)?

Чтобы найти уравнение прямой, проходящей через среднюю линию трапеции ABCD, мы сначала должны определить координаты двух точек, через которые эта прямая проходит. Затем мы можем использовать формулу точки-наклона, чтобы найти уравнение прямой.

Средняя линия трапеции - это линия, которая соединяет середины оснований AB и CD. Чтобы найти координаты середины основания AB, мы можем применить формулу середины отрезка, которая гласит, что координаты середины отрезка между двумя точками (x₁, y₁) и (x₂, y₂) задаются следующим образом:

\[
\left(\frac{{x₁ + x₂}}{2}, \frac{{y₁ + y₂}}{2}\right)
\]

Применяя эту формулу к точкам A (1, 3) и B (3, 1), мы можем найти координаты середины отрезка AB:

\[
\left(\frac{{1 + 3}}{2}, \frac{{3 + 1}}{2}\right) = (2, 2)
\]

Теперь у нас есть первая точка, через которую прямая проходит. Для второй точки мы можем использовать координаты вершины C (5, 5), так как средняя линия трапеции также проходит через эту вершину.

Теперь, когда у нас есть две точки, через которые проходит прямая - (2,2) и (5,5), мы можем использовать формулу точки-наклона для поиска уравнения прямой. Формула точки-наклона выглядит следующим образом:

\[
y - y₁ = m(x - x₁)
\]

где (x₁, y₁) - координаты одной из точек на прямой, а m - наклон прямой.

Чтобы найти значение наклона прямой, мы можем использовать следующую формулу:

\[
m = \frac{{y₂ - y₁}}{{x₂ - x₁}}
\]

где (x₂, y₂) - координаты второй точки на прямой.

Подставляем значения в формулу:

\[
m = \frac{{5 - 2}}{{5 - 2}} = 1
\]

Теперь, зная значение наклона (m = 1) и одну из точек (x₁, y₁) = (2, 2), мы можем записать уравнение прямой:

\[
y - 2 = 1(x - 2)
\]

Упрощая это уравнение, получаем:

\[
y - 2 = x - 2
\]

А теперь приводим его к более удобной форме:

\[
y = x
\]

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через среднюю линию трапеции ABCD, заданной точками A (1; 3), B (3; 1), C (5; 5) и D (7; 15), равно \(y = x\).