Какое уравнение прямой 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐=0, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от точек A(4;3) и B(7;10)?

Чтобы найти уравнение прямой, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от точек A(4;3) и B(7;10), мы можем использовать формулу расстояния между точкой и прямой.

Формула расстояния от точки (x₀, y₀) до прямой Ax + By + C = 0 задается следующим образом:

d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)

В нашем случае, мы знаем точку A(4;3) и B(7;10). Расстояние от этих точек до прямой должно быть одинаковым. Поэтому, мы можем выбрать точку (x, y) на прямой и использовать формулу расстояния для нахождения уравнения прямой.

Давайте подставим координаты точки A в формулу расстояния:

d₁ = |4a + 3b + c| / √(a² + b²)

Также, давайте подставим координаты точки B в формулу расстояния:

d₂ = |7a + 10b + c| / √(a² + b²)

Поскольку d₁ = d₂, мы можем записать это в уравнение:

|4a + 3b + c| / √(a² + b²) = |7a + 10b + c| / √(a² + b²)

Теперь давайте уберем знаки модуля, возведем обе части уравнения в квадрат и избавимся от знаменателя:

(4a + 3b + c)²(a² + b²) = (7a + 10b + c)²(a² + b²)

Раскроем скобки:

(16a² + 24ab + 8ac + 9b² + 6bc + c²)(a² + b²) = (49a² + 140ab + 14ac + 100b² + 70bc + c²)(a² + b²)

Теперь рассмотрим каждое слагаемое по отдельности:

16a²(a² + b²) + 24ab(a² + b²) + 8ac(a² + b²) + 9b²(a² + b²) + 6bc(a² + b²) + c²(a² + b²)

= 49a²(a² + b²) + 140ab(a² + b²) + 14ac(a² + b²) + 100b²(a² + b²) + 70bc(a² + b²) + c²(a² + b²)

Заметим, что (a² + b²) является общим множителем в каждом слагаемом. Делая сокращения, получаем:

16a² + 24ab + 8ac + 9b² + 6bc + c² = 49a² + 140ab + 14ac + 100b² + 70bc + c²

Теперь объединим все переменные слева и все константы справа:

16a² - 49a² + 24ab - 140ab + 8ac - 14ac + 9b² - 100b² + 6bc - 70bc + c² - c² = 0

-33a² - 116ab - 6ac - 91b² - 64bc = 0

Итак, полученное уравнение представляет собой уравнение прямой, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от точек A(4;3) и B(7;10).