Какое уравнение описывает плоскость, проходящую через точку М(2,1,1) и имеющую прямую с общими уравнениями

Когда мы решаем задачи, связанные с построением уравнения плоскости, мы знаем, что плоскость определяется точкой и нормальным вектором. Нормальный вектор плоскости перпендикулярен к плоскости и, поэтому, он должен быть перпендикулярен к направляющему вектору прямой, лежащей в плоскости.

Для начала найдём направляющие векторы прямой с общими уравнениями { x-3y+5z-3=0 2x+y-3z-5=0. Возьмем коэффициенты при x, y и z и получим направляющие векторы:

\[ \begin{cases} x - 3y + 5z - 3 = 0 \\ 2x + y - 3z - 5 = 0 \end{cases} \]

\[ \begin{cases} 1x - 3y + 5z = 3 \\ 2x + 1y - 3z = 5 \end{cases} \]

Используя метод Крамера, найдём значения x, y и z:

\[ x = \frac{\begin{vmatrix}3 & -3 & 5 \\ 5 & 1 & -3 \\ 0 & 1 & -3\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1 & -3 & 5 \\ 2 & 1 & -3 \\ 0 & 1 & -3\end{vmatrix}} = \frac{42}{-32} \approx -1.3125 \]

\[ y = \frac{\begin{vmatrix}1 & 3 & 5 \\ 2 & 5 & -3 \\ 0 & 1 & -3\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1 & -3 & 5 \\ 2 & 1 & -3 \\ 0 & 1 & -3\end{vmatrix}} = \frac{55}{-32} \approx -1.71875 \]

\[ z = \frac{\begin{vmatrix}1 & -3 & 3 \\ 2 & 1 & 5 \\ 0 & 1 & 1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1 & -3 & 5 \\ 2 & 1 & -3 \\ 0 & 1 & -3\end{vmatrix}} = \frac{16}{-32} \approx -0.5 \]

Теперь мы можем найти направляющий вектор прямой путем субституции x, y и z наше прямое уравнение {x = -1.3125, y = -1.71875, z = -0.5}:

\[ \vec{v} = \begin{pmatrix} -1.3125 \\ -1.71875 \\ -0.5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3.3125 \\ -2.71875 \\ -1.5 \end{pmatrix} \]

Теперь мы можем найти нормальный вектор плоскости, что будет перпендикулярно направляющему вектору. Так как эти два вектора перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю:

\[ \vec{v} \cdot \vec{n} = -3.3125 \cdot n_1 - 2.71875 \cdot n_2 - 1.5 \cdot n_3 = 0 \]

Выберем, например, n_1 = 1, чтобы облегчить вычисления.

\[ -3.3125 \cdot 1 - 2.71875 \cdot n_2 - 1.5 \cdot n_3 = 0 \]

\[ 1 - 2.71875 \cdot n_2 - 1.5 \cdot n_3 = 0 \]

Теперь мы можем выбрать значения n_2 и n_3. Давайте возьмем n_2 = 2 и n_3 = 1.

\[ 1 - 2.71875 \cdot 2 - 1.5 \cdot 1 = 0 \]

\[ 1 - 5.4375 - 1.5 = 0 \]

\[ -5.9375 = 0 \]

Упс! Получается, наше предположение неверно. Давайте попробуем другие значения для n_2 и n_3.

Выберем, например, n_2 = 3 и n_3 = 2.

\[ 1 - 2.71875 \cdot 3 - 1.5 \cdot 2 = 0 \]

\[ 1 - 8.15625 - 3 = 0 \]

\[ -10.15625 = 0 \]

Опять неверно.

Попробуем найти нормальный вектор, положив n_3 = 3.

\[ 1 - 2.71875 \cdot n_2 - 1.5 \cdot 3 = 0 \]

\[ 1 - 2.71875 \cdot n_2 - 4.5 = 0 \]

\[ -3.5 - 2.71875 \cdot n_2 = 0 \]

\[ -3.5 = 2.71875 \cdot n_2 \]

\[ n_2 = \frac{-3.5}{2.71875} \approx -1.287 \]

Теперь мы можем найти значение n_1, используя тот факт, что сумма всех коэффициентов нормального вектора равна нулю:

\[ n_1 + n_2 + n_3 = 0 \]

\[ n_1 - 1.287 + 3 = 0 \]

\[ n_1 = -1.713 \]

И так, мы нашли нормальный вектор плоскости, который задает уравнение плоскости, проходящей через точку М(2,1,1) и имеющей прямую с общими уравнениями { x-3y+5z-3=0 2x+y-3z-5=0.

Полученное уравнение плоскости будет иметь вид:

\[ -1.713x - 1.287y + 3z - d = 0 \]

Для определения значения d, подставим координаты точки M(2,1,1) в данное уравнение:

\[ -1.713 \cdot 2 - 1.287 \cdot 1 + 3 \cdot 1 - d = 0 \]

\[ -3.426 - 1.287 + 3 - d = 0 \]

\[ -1.713 - d = 0 \]

\[ d = -1.713 \]

Таким образом, уравнение плоскости будет выглядеть следующим образом:

\[ -1.713x - 1.287y + 3z + 1.713 = 0 \]

Следовательно, правильный ответ состоит в пункте d) 3 + 2 + 10 - 1 = 0.