Какое уравнение описывает окружность с центром в начале координат и с прямой 3x - 4y + 20 = 0 как касательной?

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать определение касательной к окружности. Касательная к окружности является прямой, которая касается окружности только в одной точке и перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку.

Для начала, давайте найдем радиус окружности с центром в начале координат. Поскольку центр окружности находится в начале координат (0,0), радиус будет равен расстоянию от начала координат до любой точки на окружности.

Теперь давайте решим прямую \(3x - 4y + 20 = 0\) на нахождение точки касания. Чтобы найти точку касания, мы должны найти пересечение прямой и окружности. Поскольку точка касания является общей точкой для прямой и окружности, ее координаты будут удовлетворять обоим уравнениям.

Начнем с уравнения прямой. Преобразуем его к виду \(y = mx + b\), где \(m\) - это коэффициент наклона, а \(b\) - свободный член.

\[3x - 4y + 20 = 0\]
\[4y = 3x + 20\]
\[y = \frac{3}{4}x + 5\]

Теперь мы имеем уравнение прямой в виде \(y = \frac{3}{4}x + 5\). Подставим это уравнение в уравнение окружности, чтобы найти точку касания.

Уравнение окружности с центром в начале координат имеет вид \(x^2 + y^2 = r^2\). Поскольку центр окружности находится в начале координат, у нас нет дополнительного слагаемого.

Подставим уравнение прямой в уравнение окружности:

\[x^2 + \left(\frac{3}{4}x + 5\right)^2 = r^2\]

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

\[x^2 + \frac{9}{16}x^2 + \frac{15}{2}x + 25 = r^2\]

Соберем все слагаемые в одну сторону:

\[\frac{25}{16}x^2 + \frac{15}{2}x - (r^2 - 25) = 0\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно \(x\) с коэффициентами \(\frac{25}{16}\), \(\frac{15}{2}\) и \(-(r^2 - 25)\).

Для того чтобы прямая \(3x - 4y + 20 = 0\) была касательной к окружности, это квадратное уравнение должно иметь только один корень. Если у квадратного уравнения есть только один корень, то его дискриминант (часть выражения под знаком радикала в формуле дискриминанта) должен быть равен нулю.

Уравнение дискриминанта для квадратного уравнения \(Ax^2 + Bx + C = 0\) имеет вид \(D = B^2 - 4AC\).

В нашем случае у нас есть:

\[D = \left(\frac{15}{2}\right)^2 - 4 \cdot \frac{25}{16} \cdot (-(r^2 - 25))\]

Упростим это выражение:

\[D = \frac{225}{4} + \frac{100}{4} \cdot (r^2 - 25)\]
\[D = \frac{225}{4} + \frac{100}{4} \cdot r^2 - \frac{100}{4} \cdot 25\]
\[D = \frac{225}{4} + \frac{100}{4} \cdot r^2 - \frac{2500}{4}\]
\[D = \frac{100}{4} \cdot r^2 - \frac{2275}{4}\]

Теперь приравняем \(D\) к нулю и решим полученное уравнение:

\[\frac{100}{4} \cdot r^2 - \frac{2275}{4} = 0\]
\[r^2 = \frac{2275}{100}\]
\[r^2 = 22.75\]
\[r \approx 4.76\]

Таким образом, уравнение окружности, описывающее окружность с центром в начале координат и прямой \(3x - 4y + 20 = 0\) как касательной, будет иметь вид:

\[x^2 + y^2 = 4.76^2\]

Это уравнение описывает окружность с центром в начале координат и радиусом около 4.76.