Какое уравнение окружности будет проходить через точку с координатами 9 на оси Ox и через точку с координатами 3

Для решения данной задачи, нам понадобятся знания о формуле окружности и о том, что центр окружности находится на некотором расстоянии от точки.

Формула окружности имеет следующий вид: \((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\), где \((a, b)\) - координаты центра окружности, а \(r\) - радиус окружности.

Из условия задачи, нам даны координаты двух точек, через которые проходит окружность: (9, 0) и (0, 3).
Пусть \((x_c, y_c)\) - координаты центра окружности.

Для начала, найдем радиус окружности. Расстояние от центра окружности до любой точки на окружности равно радиусу.
Используя координаты точек, мы можем использовать расстояние между точками в двумерном пространстве для определения радиуса окружности.

Расстояние между двумя точками \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) в двумерном пространстве вычисляется по формуле:
\[d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\]

В нашем случае, расстояние между точкой (9, 0) и центром окружности \((x_c, y_c)\) равно радиусу окружности, а расстояние между точкой (0, 3) и \((x_c, y_c)\) также равно радиусу окружности.

Таким образом, мы можем записать два уравнения с использованием данных точек и радиуса:
\((9 - x_c)^2 + (0 - y_c)^2 = r^2\) и \((0 - x_c)^2 + (3 - y_c)^2 = r^2\)

Теперь у нас есть система уравнений с двумя уравнениями и тремя неизвестными (\(x_c, y_c\) и \(r\)).

Чтобы решить эту систему, мы можем воспользоваться методом подстановки или методом сложения/вычитания уравнений.

Для примера, воспользуемся методом подстановки.

Из второго уравнения выразим \(r^2\) через \(x_c\) и \(y_c\):

\((0 - x_c)^2 + (3 - y_c)^2 = r^2\)

\((0 - x_c)^2 + (3 - y_c)^2 = (9 - x_c)^2 + (0 - y_c)^2\)

Перенесем все слагаемые, содержащие \(x_c\) и \(y_c\), на одну сторону уравнения:

\((0 - x_c)^2 + (3 - y_c)^2 - (9 - x_c)^2 - (0 - y_c)^2 = 0\)

Упростим выражение, применяя формулу разности квадратов и приводя подобные слагаемые:

\((0 - x_c)^2 - (9 - x_c)^2 + (3 - y_c)^2 - (0 - y_c)^2 = 0\)

\((0 - x_c - 9 + x_c)(0 - x_c + 9 - x_c) + (3 - y_c)^2 - (0 - y_c)^2 = 0\)

\((-9)(9) + (3 - y_c)^2 - (0 - y_c)^2 = 0\)

\(-81 + (3 - y_c)^2 - (0 - y_c)^2 = 0\)

\(-81 + (3 - y_c)^2 - y_c^2 = 0\)

Затем, раскроем квадрат и упростим выражение:

\(-81 + 9 - 6y_c + y_c^2 - y_c^2 = 0\)

\(-72 - 6y_c = 0\)

Из этого уравнения, мы можем найти значение \(y_c\):

\(-72 - 6y_c = 0\)

\(-6y_c = 72\)

\(y_c = -12\)

Таким образом, мы нашли значение \(y_c\). Теперь нам нужно найти \(x_c\) и \(r\).

Подставим найденное значение \(y_c\) в любое из двух исходных уравнений, например, в первое уравнение:

\((9 - x_c)^2 + (0 - (-12))^2 = r^2\)

Упростим выражение:

\((9 - x_c)^2 + 12^2 = r^2\)

\((9 - x_c)^2 + 144 = r^2\)

Теперь у нас есть уравнение, содержащее только \(x_c\) и \(r\). Но нам нужно еще одно уравнение, чтобы найти их значения.

Вернемся к исходной системе уравнений:

\((9 - x_c)^2 + (0 - (-12))^2 = r^2\)

\((0 - x_c)^2 + (3 - (-12))^2 = r^2\)

Подставим \(y_c = -12\) в эти уравнения:

\((9 - x_c)^2 + 12^2 = r^2\)

\((0 - x_c)^2 + (3 - (-12))^2 = r^2\)

Мы уже получили первое уравнение, остается упростить второе уравнение:

\((0 - x_c)^2 + (3 + 12)^2 = r^2\)

\((0 - x_c)^2 + 15^2 = r^2\)

Теперь у нас есть два уравнения, содержащих только \(x_c\) и \(r\).

Система уравнений:

\((9 - x_c)^2 + 12^2 = r^2\)

\((0 - x_c)^2 + 15^2 = r^2\)

Мы можем решить эту систему уравнений с помощью метода вычитания.

Вычтем второе уравнение из первого:

\((9 - x_c)^2 + 12^2 - [(0 - x_c)^2 + 15^2] = r^2 - r^2\)

\((9 - x_c)^2 + 144 - (x_c^2 + 225) = 0\)

Раскроем квадрат и упростим:

\(81 - 18x_c + x_c^2 + 144 - x_c^2 - 225 = 0\)

Упростим выражение:

\(225 - 18x_c - 81 = 0\)

Упростим дальше:

\(144 - 18x_c = 0\)

Решим это уравнение для нахождения \(x_c\):

\(-18x_c = -144\)

\(x_c = 8\)

Таким образом, мы нашли, что \(x_c = 8\), \(y_c = -12\) и \(r^2 = 144\).

Следовательно, уравнение окружности, проходящей через точку с координатами (9, 0) и (0, 3), с центром в точке (8, -12) будет иметь следующий вид:

\((x - 8)^2 + (y + 12)^2 = 144\)