Какое уравнение директрисы параболы y^2+8y+28x+72

Для нахождения уравнения директрисы параболы, мы будем использовать следующие шаги:

1. Изначально, у нас есть уравнение параболы в форме общего уравнения второй степени. В общем виде оно представляется следующим образом: \(y^2 + 8y + 28x + 72 = 0\).

2. Чтобы получить уравнение директрисы, нам потребуется найти уравнение касательной к параболе в её вершине. Так как у параболы \(y^2 + 8y + 28x + 72\) коэффициент при \(x\) отличен от нуля, это означает, что ось симметрии параболы вертикальная. Значит, вершина параболы будет находиться на оси \(x\).

3. Чтобы найти координаты вершины, нам необходимо найти значение \(x\) в вершине параболы, используя формулу \(x = -\frac{b}{2a}\), где \(a\) и \(b\) - коэффициенты при \(x^2\) и \(x\) соответственно. В нашем случае, \(a = 28\) и \(b = 8\). Подставляя значения в формулу, мы получаем: \(x = -\frac{8}{2 \cdot 28} = -\frac{1}{7}\).

4. Теперь, чтобы найти \(y\) в вершине параболы, мы подставляем найденное значение \(x\) в уравнение параболы. Получаем: \(y^2 + 8y + 28 \cdot \left(-\frac{1}{7}\right) + 72 = 0\).

5. Решим полученное уравнение, используя любой метод, который знаком школьникам. В нашем случае, уравнение \(y^2 + 8y - \frac{28}{7} + 72 = 0\) можно упростить, вынеся общий множитель из первых двух членов. Получаем: \(y^2 + 8y +8 = 0\).

6. Решим это уравнение, используя квадратное уравнение. Для этого мы используем формулу дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\). В нашем случае, \(a = 1\), \(b = 8\) и \(c = 8\). Подставляем значения в формулу: \(D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 64 - 32 = 32\).

7. Так как дискриминант \(D = 32\) положительный, уравнение имеет два действительных корня. Поэтому, используя формулу квадратного уравнения, мы получаем следующие значения для \(y\): \(y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}\) и \(y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}\).

8. Подставляем значения в формулу и решаем: \(y_1 = \frac{-8 + \sqrt{32}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 + 4\sqrt{2}}{2} = -4 + 2\sqrt{2}\) и \(y_2 = \frac{-8 - \sqrt{32}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 - 4\sqrt{2}}{2} = -4 - 2\sqrt{2}\).

9. Получили два значения \(y\): \(y_1 = -4 + 2\sqrt{2}\) и \(y_2 = -4 - 2\sqrt{2}\).

10. Помним, что вершина параболы имеет координаты \(\left(-\frac{1}{7}, y_1\right)\) и \(\left(-\frac{1}{7}, y_2\right)\).

11. Уравнение директрисы параболы находится на том же расстоянии от вершины, что и фокус параболы. Фокусное расстояние для параболы \(y^2 + 8y + 28x + 72 = 0\) равно \(f = \frac{1}{4a}\), где \(a\) - коэффициент при \(x^2\). В нашем случае, \(a = 28\).

12. Подставляем значение \(a\) и вычисляем фокусное расстояние: \(f = \frac{1}{4 \cdot 28} = \frac{1}{112}\).

13. Так как парабола симметрична относительно оси \(x\), фокус будет находиться на том же расстоянии от вершины, что и директриса. Поэтому, уравнение директрисы будет выглядеть как \(x = -\frac{1}{7} - \frac{1}{112}\) и \(x = -\frac{1}{7} + \frac{1}{112}\).

14. Упрощаем выражения и получаем окончательные уравнения директрисы параболы: \(x = -\frac{113}{784}\) и \(x = -\frac{97}{784}\).

Таким образом, уравнения директрисы для данной параболы будут \(x = -\frac{113}{784}\) и \(x = -\frac{97}{784}\).