Какое статическое давление Р1 существует в первом сечении горизонтального сосуда переменного сечения, через которое

Для решения данной задачи нам понадобится применить уравнение Бернулли, которое описывает сохранение энергии для идеальной жидкости вдоль потока. Уравнение Бернулли имеет следующий вид:

\[P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho g h_1 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho g h_2\]

Где:
\(P_1\) и \(P_2\) - давление на первом и втором сечениях соответственно,
\(\rho\) - плотность жидкости,
\(v_1\) и \(v_2\) - скорость потока на первом и втором сечениях соответственно,
\(g\) - ускорение свободного падения,
\(h_1\) и \(h_2\) - высота уровня жидкости над некоторой горизонтальной плоскостью на первом и втором сечениях соответственно.

В данной задаче второе сечение является ниже первого сечения (уровень жидкости выше на первом сечении), поэтому высоту \(h_2\) можно считать равной нулю. Учитывая эти особенности, уравнение Бернулли может быть упрощено:

\[P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho g h_1 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2\]

Поскольку у нас нет информации о высоте уровня жидкости (\(h_1\)), мы можем его проигнорировать, так как он не влияет на статическое давление. Таким образом, уравнение Бернулли может быть еще более упрощено:

\[P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2\]

Мы знаем, что сечение 1 имеет радиус \(R_1 = 5 \, \text{см}\) и скорость \(v_1 = 3 \, \text{м/с}\), а полное давление \(P\) равно \(10^5\) Па (паскаль). Также, плотность жидкости \(\rho = 1000 \, \text{кг/м}^3\) (1 кг/м^3 = 1 Па·с^2).

Мы можем использовать эти значения, чтобы выразить \(P_2\) через \(P_1\):

\[P_2 = P_1 - \frac{1}{2} \rho v_1^2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2\]

Теперь нам нужно найти \(v_2\). Радиус второго сечения \(R_2 = 3 \, \text{см}\). Чтобы найти скорость \(v_2\), мы можем использовать закон сохранения массы:

\(A_1 v_1 = A_2 v_2\)

где \(A_1\) и \(A_2\) - площади первого и второго сечений соответственно.

Площадь сечения круга можно найти по формуле:

\[A = \pi R^2\]

Таким образом, мы можем найти \(A_1\) и \(A_2\):

\[A_1 = \pi R_1^2\]
\[A_2 = \pi R_2^2\]

Подставляя значения \(R_1 = 5 \, \text{см}\), \(R_2 = 3 \, \text{см}\), и \(v_1 = 3 \, \text{м/с}\) в уравнение сохранения массы, мы можем найти \(v_2\):

\[\pi R_1^2 \cdot v_1 = \pi R_2^2 \cdot v_2\]

\[\pi (5 \, \text{см})^2 \cdot 3 \, \text{м/с} = \pi (3 \, \text{см})^2 \cdot v_2\]

Получаем:

\[25 \cdot 10^{-4} \, \text{м}^2 \cdot 3 \, \text{м/с} = 9 \cdot 10^{-4} \, \text{м}^2 \cdot v_2\]

\[\frac{75}{9} \, \text{м/с} = v_2\]

Теперь, подставляя значения в уравнение Бернулли, мы имеем:

\[P_1 + \frac{1}{2} \cdot 1000 \cdot (3 \, \text{м/с})^2 = P_2 + \frac{1}{2} \cdot 1000 \cdot \left(\frac{75}{9} \, \text{м/с}\right)^2\]

\[P_1 + 1500 \, \text{Па} = P_2 + 11388.9 \, \text{Па}\]

\[P_1 - P_2 = 11388.9 \, \text{Па} - 1500 \, \text{Па}\]

\[P_1 - P_2 = 9888.9 \, \text{Па}\]

Таким образом, статическое давление \(P_1\) в первом сечении горизонтального сосуда переменного сечения равно 9888.9 Па (паскаль).