Какое соотношение между средним количеством фононов в кристалле, имеющих энергию в два раза меньшую максимальной

Чтобы решить данную задачу, воспользуемся формулами из термодинамики и статистической физики. Предположим, что в кристалле имеется \(N\) фононов, каждый из которых обладает определенной энергией. Соответственно, среднее количество фононов с энергией в два раза меньшую максимальной можно обозначить как \(N_1\), а среднее количество фононов с максимальной энергией как \(N_2\).

Согласно распределению Бозе-Эйнштейна, вероятность найти одну частицу (в данном случае фонон) в состоянии с энергией \(E\) при температуре \(T\) задается формулой:

\[P(E) = \frac{1}{e^{\frac{E}{kT}} - 1}\]

где \(k\) - постоянная Больцмана. Обратите внимание, что данная формула применима для фононов, так как они подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна.

Теперь можно выразить \(N_1\) и \(N_2\) через \(N\) и \(T\). Для фононов с энергией в два раза меньшую максимальной:

\[N_1 = N \cdot P\left(\frac{E_{max}}{2}\right)\]

А для фононов с максимальной энергией:

\[N_2 = N \cdot P(E_{max})\]

где \(E_{max}\) - максимальная энергия фонона, \(P\left(\frac{E_{max}}{2}\right)\) и \(P(E_{max})\) - вероятности нахождения фонона в соответствующих состояниях.

Теперь распишем формулу для вероятности по температуре. Используем известное соотношение:

\[kT = \Theta_D\]

где \(\Theta_D\) - Дебаевская температура кристалла. Учитывая это, получим:

\[P(E) = \frac{1}{e^{\frac{E}{\Theta_D}} - 1}\]

Подставляя вероятности обратно в выражения для \(N_1\) и \(N_2\), получим:

\[N_1 = N \cdot \frac{1}{e^{\frac{E_{max}}{2\Theta_D}} - 1}\]
\[N_2 = N \cdot \frac{1}{e^{\frac{E_{max}}{\Theta_D}} - 1}\]

Итак, мы получили соотношение между средним количеством фононов с энергией в два раза меньшую максимальной и средним количеством фононов с максимальной энергией при температуре 300 К. Оно представлено двумя формулами:

\[N_1 = N \cdot \frac{1}{e^{\frac{E_{max}}{2\Theta_D}} - 1}\]
\[N_2 = N \cdot \frac{1}{e^{\frac{E_{max}}{\Theta_D}} - 1}\]

Где \(N_1\) - среднее количество фононов с энергией в два раза меньшую максимальной, \(N_2\) - среднее количество фононов с максимальной энергией, \(N\) - общее количество фононов в кристалле, \(E_{max}\) - максимальная энергия фонона, \(\Theta_D\) - Дебаевская температура кристалла.

Вы можете использовать эти формулы для конкретных численных расчетов с заданными значениями \(N\), \(E_{max}\), \(\Theta_D\) и температурой 300 К.