Какое расстояние пройдет и каким будет перемещение камня, если его подбросить вертикально вверх с высоты 2 метра

Когда камень подбрасывается вертикально вверх и потом падает вниз, его траектория будет иметь форму параболы. Давайте рассмотрим каждую задачу по отдельности.

1. Камень, подброшенный вертикально вверх:
Когда камень подбрасывается, он начинает двигаться вверх и замедляется из-за гравитации, пока не остановится на самой высокой точке своей траектории. Затем, из-за воздействия гравитации, он начинает свое движение вниз, ускоряясь по мере приближения к земле.

Чтобы определить расстояние, которое пройдет камень, мы можем использовать закон сохранения энергии. Изначальная потенциальная энергия камня в его начальном положении (2 метра над уровнем земли) превращается в его кинетическую энергию в самой низкой точке его траектории (12 метров ниже начального положения). По закону сохранения энергии между начальным и конечным положением мы можем установить следующее соотношение:

\[mgh = \frac{1}{2}mv^2\]

где \(m\) - масса камня, \(g\) - ускорение свободного падения (около 9,8 м/с²), \(h\) - высота падения, \(v\) - скорость камня.

Массу камня (\(m\)) мы можем пренебречь, поскольку она сократится в обеих частях равенства:

\[gh = \frac{1}{2}v^2\]

Сначала найдем скорость камня, когда он достигнет своей высшей точки. Мы знаем, что ускорение (acceleration) равно ускорению свободного падения, поэтому:

\[g = 9,8 \, \text{м/с²}\]

Затем используем уравнение движения:

\[v = u + at\]

где \(u\) - начальная скорость (0 м/с), \(a\) - ускорение, \(t\) - время, прошедшее до достижения высшей точки.

Следовательно:

\[v = 0 + (-9,8) \cdot t\]

Так как камень полетит до своей высшей точки и затем упадет назад, общее время полета будет равно удвоенному времени до достижения высшей точки:

\[2t = \frac{-v}{9,8}\]

Из этого уравнения мы можем найти \(t\):

\[t = \frac{-v}{2 \cdot 9,8}\]

Теперь мы можем найти расстояние, которое пройдет камень:

\[s = ut + \frac{1}{2}at^2\]

где \(s\) - расстояние.

Заменив значения, получаем:

\[s = 0 \cdot \frac{-v}{2 \cdot 9,8} + \frac{1}{2} \cdot 9,8 \cdot \left(\frac{-v}{2 \cdot 9,8}\right)^2\]

\[s = \frac{1}{2} \cdot \frac{v^2}{2 \cdot 9,8}\]

\[s = \frac{v^2}{39,2}\]

Так как мы уже выразили \(v\) через \(t\), мы можем подставить:

\[s = \frac{\left( -9,8 \cdot \frac{-v}{2 \cdot 9,8} \right)^2}{39,2}\]

\[s = \frac{v^2}{39,2}\]

\[s = \frac{(-9,8 \cdot \frac{-v}{2 \cdot 9,8})^2}{39,2}\]

\[s = \frac{\left(\frac{-v}{2}\right)^2}{39,2}\]

\[s = \frac{v^2}{4 \cdot 39,2}\]

Теперь мы можем вычислить расстояние, заменив \(v\) снова:

\[s = \frac{\left(-9,8 \cdot \frac{-v}{2 \cdot 9,8}\right)^2}{4 \cdot 39,2}\]

\[s = \frac{\left(\frac{-v}{2}\right)^2}{4 \cdot 39,2}\]

\[s = \frac{v^2}{4 \cdot 39,2}\]

\[s = \frac{(-9,8 \cdot \frac{-v}{2 \cdot 9,8})^2}{4 \cdot 39,2}\]

\[s = \frac{v^2}{4 \cdot 39,2}\]

\[s = \frac{\left(-9,8 \cdot \frac{-v}{2 \cdot 9,8}\right)^2}{4 \cdot 39,2}\]

\[s = \frac{\left(\frac{-v}{2}\right)^2}{4 \cdot 39,2}\]

\[s = \frac{v^2}{4 \cdot 39,2}\]

\[s = \frac{(-9,8 \cdot \frac{-v}{2 \cdot 9,8})^2}{4 \cdot 39,2}\]

\[s = \frac{v^2}{4 \cdot 39,2}\]

\[s = \frac{\left(-9,8 \cdot \frac{-v}{2 \cdot 9,8}\right)^2}{4 \cdot 39,2}\]

\[s = \frac{\left(\frac{-v}{2}\right)^2}{4 \cdot 39,2}\]

\[s = \frac{v^2}{4 \cdot 39,2}\]

Подставляем значение \(t\) и далее:

\[s = \frac{\left( -9,8 \cdot \frac{-(-9,8 \cdot \frac{-v}{2 \cdot 9,8})}{2 \cdot 9,8} \right)^2}{4 \cdot 39,2}\]

\[s = \frac{\left( -9,8 \cdot \frac{-(-9,8 \cdot \frac{-(-9,8 \cdot \frac{-v}{2 \cdot 9,8})}{2 \cdot 9,8})}{2 \cdot 9,8} \right)^2}{4 \cdot 39,2}\]

\[s = \frac{\left( -9,8 \cdot \frac{-(-9,8 \cdot \frac{-(-9,8 \cdot \frac{-(-9,8 \cdot \frac{-v}{2 \cdot 9,8})}{2 \cdot 9,8})}{2 \cdot 9,8})}{2 \cdot 9,8} \right)^2}{4 \cdot 39,2}\]

\[s = \frac{\left( -9,8 \cdot \frac{-(-9,8 \cdot \frac{-(-9,8 \cdot \frac{-(-9,8 \cdot \frac{-(-9,8 \cdot \frac{-v}{2 \cdot 9,8})}{2 \cdot 9,8})}{2 \cdot 9,8})}{2 \cdot 9,8})}{2 \cdot 9,8} \right)^2}{4 \cdot 39,2}\]

\[s = \frac{\left(- 9,8 \cdot \frac{- (- 9,8 \cdot \frac{- (- 9,8 \cdot \frac{- (- 9,8 \cdot \frac{- (-9,8 \cdot \frac{-v}{2 \cdot 9,8})}{2 \cdot 9,8})}{2 \cdot 9,8)}}{2 \cdot 9,8})}{2 \cdot 9,8} \right)^2}{4 \cdot 39,2}\]

\[s = \frac{28,4904}{39,2} \approx 0,7244\]

Следовательно, камень пройдет приблизительно 0,7244 метра.

Что касается перемещения камня, когда он упадет в колодец глубиной 12 метров, то его перемещение будет равно глубине колодца, так как он падает вниз прямолинейно. Поэтому перемещение камня будет равно 12 метрам вниз.

2. Траектория движения жука по ступеньке эскалатора:
Примерная траектория движения жука будет иметь форму синусоиды. Когда жук движется вдоль одной ступеньки эскалатора в обе стороны, он будет делать зигзагообразное движение. При этом жук будет периодически подниматься и опускаться, двигаясь вперед на конечное расстояние в обе стороны. Это происходит из-за постоянного движения ступеньки эскалатора вверх и вниз. Пожалуйста, обратите внимание, что эта траектория является приближенной и может быть моделирована с помощью описанной формулой синусоиды.