Какое расстояние проехал велосипедист от поселка до турбазы, если он потратил на дорогу в гору 3 часа

Решение задачи можно разделить на несколько шагов, чтобы сделать его понятным для школьника.

1. Представим, что расстояние между посёлком и турбазой составляет \(d\) километров.

2. Запишем формулу для определения времени поездки: \(t = \frac{d}{v}\), где \(t\) - время поездки, \(d\) - расстояние, \(v\) - скорость.

3. По условию задачи, велосипедист потратил на дорогу в гору 3 часа. То есть, мы можем записать уравнение: \(\frac{d}{v_{\text{гора}}} = 3\), где \(v_{\text{гора}}\) - скорость движения в гору.

4. Аналогично, при возвращении велосипедист потратил на это на 1 час меньше времени, то есть \(\frac{d}{v_{\text{спуск}}} = 2\), где \(v_{\text{спуск}}\) - скорость движения при спуске.

5. По условию задачи, средняя скорость при спуске была на 7 км/ч больше, чем при подъеме. То есть, \(v_{\text{спуск}} = v_{\text{гора}} + 7\).

Теперь, решим полученную систему уравнений, чтобы найти значения скоростей и расстояния.

Исходная система уравнений:
\[
\begin{align*}
\frac{d}{v_{\text{гора}}} &= 3 \\
\frac{d}{v_{\text{спуск}}} &= 2 \\
v_{\text{спуск}} &= v_{\text{гора}} + 7 \\
\end{align*}
\]

Мы можем решить эту систему методом подстановки или любым другим способом. Воспользуемся методом подстановки, чтобы найти значения скоростей и дистанции.

Исходя из первого уравнения, мы можем выразить \(v_{\text{гора}}\) через \(d\): \(v_{\text{гора}} = \frac{d}{3}\).

Подставим это выражение в третье уравнение: \(v_{\text{спуск}} = \frac{d}{3} + 7\).

Далее, используем второе уравнение: \(\frac{d}{\frac{d}{3} + 7} = 2\).

Упростим левую часть уравнения, избавившись от дроби:
\(\frac{d}{\frac{d}{3} + 7} = \frac{3d}{d + 21}\).

Теперь можем записать уравнение:
\(\frac{3d}{d + 21} = 2\).

Умножим обе части уравнения на \(d+21\):
\(3d = 2(d+21)\).

Раскроем скобки:
\(3d = 2d + 42\).

Вычтем \(2d\) из обеих частей уравнения:
\(d = 42\).

Итак, расстояние от поселка до турбазы составляет 42 километра.

Для проверки можем найти скорости движения.

Используя первое уравнение, подставим значение \(d = 42\):
\(v_{\text{гора}} = \frac{42}{3} = 14\) км/ч.

Теперь найдем скорость при спуске:
\(v_{\text{спуск}} = v_{\text{гора}} + 7 = 14 + 7 = 21\) км/ч.

Итак, велосипедист двигался со скоростью 14 км/ч в гору и 21 км/ч при спуске. Расстояние между поселком и турбазой составляет 42 километра.

Надеюсь, это подробное решение помогло вам понять задачу!