Какое расстояние преодолел лыжник, начиная с начала спуска, если его начальная скорость была 2 м/с и он увеличил

Для решения данной задачи нам понадобится знание тригонометрии и кинематики. Давайте начнём с расчета вертикальной составляющей скорости лыжника.

У нас есть начальная скорость \(v_0 = 2\) м/с и конечная скорость \(v = 12\) м/с. Проекция скорости на вертикальную ось может быть найдена с помощью следующего соотношения:

\[v_{0_y} = v_0 \cdot \sin(\theta)\]

где \(v_{0_y}\) - вертикальная составляющая начальной скорости, а \(\theta\) - угол наклона склона горы относительно горизонта, который составляет 30 градусов.

Таким образом, подставив значения в формулу, получаем:

\[v_{0_y} = 2 \cdot \sin(30^\circ)\]

Выполнение простых математических операций дает нам:

\[v_{0_y} = 2 \cdot 0.5 = 1\) м/с.

Теперь у нас есть начальная вертикальная скорость. Чтобы рассчитать время падения лыжника, мы можем использовать уравнение движения:

\[y = v_{0_y} \cdot t + \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2\]

где \(y\) - путь, который нужно найти, \(t\) - время падения, а \(g\) - ускорение свободного падения, которое принимаем равным приближенно 9.8 м/с².

Поскольку \(y = 0\) на начале спуска (лыжник начинает с высоты 0), уравнение примет вид:

\[0 = 1 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot 9.8 \cdot t^2\]

Упрощая, получаем:

\[4.9 \cdot t^2 + t = 0\]

Теперь нам нужно решить это квадратное уравнение. Решение можно найти, применяя формулу квадратного корня:

\[t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

где в нашем случае \(a = 4.9\), \(b = 1\), и \(c = 0\).

Подставив значения, получаем:

\[t = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 4.9 \cdot 0}}{2 \cdot 4.9}\]

Выполняя вычисления, получаем два возможных значения для \(t\):

\[t_1 = 0\)

\[t_2 = -\frac{1}{4.9}\]

Так как время не может быть отрицательным, мы выбираем положительное значение \(t\), в данном случае \(t_1 = 0\).

Теперь, зная время падения, мы можем рассчитать расстояние, пройденное лыжником по горизонтальной оси, используя формулу:

\[x = v_0 \cdot \cos(\theta) \cdot t\]

где \(x\) - расстояние, \(v_0\) - начальная скорость, \(\theta\) - угол наклона, и \(t\) - время падения.

Подставив значения, получаем:

\[x = 2 \cdot \cos(30^\circ) \cdot 0\]

Выполняя простые вычисления, мы видим, что \(x = 0\).

Таким образом, лыжник не преодолел никакого горизонтального расстояния при спуске. Он преодолел только вертикальное расстояние, равное 1 м.

Для того чтобы придать больше подробностей решению, мы воспользовались тригонометрией для расчета вертикальной составляющей начальной скорости и горизонтальной составляющей пройденного расстояния, а также кинематическими уравнениями для нахождения времени падения и расстояния на горизонтальной оси. Мы также обосновали использование ускорения свободного падения без учета трения, так как условие задачи так требует.