Какое расстояние L между экранами необходимо, чтобы наблюдать интерференционные полосы за экраном со щелями, если

Для решения данной задачи мы будем использовать принцип Гюйгенса-Френеля и условие интерференции.

Условие интерференции: при наблюдении интерференционных полос соответствующие точки на щелях должны быть разделены точно на один полный период колебаний (длина волны) или целое число полных периодов колебаний между соседними точками на щелях.

По условию задачи, изображение Солнца точно совпадает с отверстием в экране. То есть, фазовый центр изображения Солнца находится на оптической оси экрана. Пусть данное изображение Солнца находится на расстоянии x от экрана с щелями (вдоль оптической оси). Для простоты, предположим, что экран с щелями, сам экран с отверстием и фокусная линза находятся на одной прямой.

Теперь рассмотрим два пути, которые проходят от точки источника света (Солнца) до точки наблюдения (глаза), при этом эти пути должны отличаться на \(m\) длин волн, где \(m\) - целое число.

Расстояние от экрана с щелями до глаза можно записать как сумму двух расстояний: расстояние от экрана до изображения Солнца (x) и расстояние от изображения Солнца до глаза (L-x), где L - искомое расстояние между экранами.

Используя теорему подобия треугольников, можем установить следующую пропорцию:

\(\frac{f}{L-x} = \frac{d}{x}\)

где \(f\) - фокусное расстояние линзы, \(d\) - расстояние между щелями.

Решая данную пропорцию относительно \(L\), получим:

\(L-x = \frac{f \cdot x}{d}\)

\(L = \frac{f \cdot x}{d} + x\)

Теперь нам нужно выразить расстояние x через угловой диаметр Солнца ψ и фокусное расстояние линзы f.

Воспользуемся тригонометрическим соотношением для малых углов дифракции:

\(\tan{\frac{\psi}{2}} \approx \frac{\delta}{f}\)

где \(\delta\) - линейное расстояние между интерференционными полосами (половина ширины интерференционной полосы).

Как известно, для интерференции на экране со щелями выполняется условие:

\(\delta = \frac{\lambda}{d}\)

где \(\lambda\) - длина волны света.

Сочетая эти два соотношения, получим:

\(\tan{\frac{\psi}{2}} \approx \frac{\lambda}{d \cdot f}\)

Теперь выразим \(\lambda\) через \(d\) и \(\psi\):

\(\lambda = d \cdot \tan{\frac{\psi}{2}}\)

Теперь подставим это значение \(\lambda\) в предыдущее уравнение:

\(\tan{\frac{\psi}{2}} \approx \frac{d \cdot \tan{\frac{\psi}{2}}}{d \cdot f}\)

\(\tan{\frac{\psi}{2}} \approx \frac{\tan{\frac{\psi}{2}}}{f}\)

Таким образом, мы получаем:

\(x = f \cdot \tan{\frac{\psi}{2}}\)

Теперь, подставив значение \(x\) в предыдущую формулу для \(L\), получим окончательный ответ:

\(L = \frac{f \cdot x}{d} + x = \frac{f \cdot f \cdot \tan{\frac{\psi}{2}}}{d} + f \cdot \tan{\frac{\psi}{2}}\)

Это и есть искомое расстояние \(L\) между экранами, необходимое для наблюдения интерференционных полос за экраном со щелями.