Какое произведение координат точки делит отрезок MN в отношении 2:5, считая от точки N, если M имеет координаты

Чтобы найти произведение координат точки, которое делит отрезок MN в заданном отношении, мы должны сначала определить координаты этой точки.

Для начала, давайте найдем длину отрезка MN. Мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:

\[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}\]

где \(d\) - расстояние между точками, \(x_1, y_1, z_1\) - координаты точки M, \(x_2, y_2, z_2\) - координаты точки N.

Подставим значения координат точек M и N в формулу:

\[d = \sqrt{(1 - 1)^2 + (7 - 2)^2 + (6 - 3)^2}\]

Выполняем вычисления:

\[d = \sqrt{0 + 25 + 9} = \sqrt{34}\]

Теперь, чтобы найти координаты точки, которая делит отрезок MN в отношении 2:5 (считая от точки N), мы можем использовать соотношение между расстояниями:

\(\frac{NB}{NM} = \frac{2}{7}\)

где NB - расстояние от точки N до искомой точки, а NM - полное расстояние от точки N до точки M.

Заменим расстояния на найденные значения:

\(\frac{NB}{\sqrt{34}} = \frac{2}{7}\)

Чтобы найти NB, перемножим обе стороны уравнения на \(\sqrt{34}\):

\(NB = \frac{2}{7} \cdot \sqrt{34}\)

Таким образом, мы получаем, что расстояние NB равно \(\frac{2}{7}\) от общей длины отрезка MN.

Теперь, чтобы найти координаты точки B, мы можем использовать формулу:

\(B = N + \frac{2}{7} \cdot \overrightarrow{NM}\)

где \(\overrightarrow{NM}\) - вектор, соответствующий направлению и длине отрезка NM.

Выполняем вычисления:

\(\overrightarrow{NM} = (1 - 1, 7 - 2, 6 - 3) = (0, 5, 3)\)

Теперь найдем значение координат точки B:

\(B = (1, 7, 6) + \frac{2}{7} \cdot (0, 5, 3)\)

Распределенное умножение:

\(B = (1, 7, 6) + (0, \frac{10}{7}, \frac{6}{7})\)

Сложение координат:

\(B = (1, \frac{49}{7}, \frac{48}{7})\)

Таким образом, координаты точки B равны (1, \(\frac{49}{7}\), \(\frac{48}{7}\)). Эта точка делит отрезок MN в отношении 2:5, считая от точки N.