Какое произведение двух двузначных чисел будет иметь последнюю цифру как-то?

Для решения этой задачи нужно разобрать все возможные случаи и проверить их. Используем метод пошагового решения:

1. Пусть первое двузначное число будет \(AB\), где \(A\) - число десятков и \(B\) - число единиц.
2. Пусть второе двузначное число будет \(CD\), где \(C\) - число десятков и \(D\) - число единиц.

Нам нужно найти такие числа \(AB\) и \(CD\), чтобы последняя цифра произведения этих чисел равнялась \(E\), где \(E\) - какое-то число от 0 до 9.

3. Запишем произведение двузначных чисел:

\[
(10A + B) \cdot (10C + D)
\]

4. Распишем это произведение:

\[
100AC + 10AD + 10BC + BD
\]

5. Заметим, что последняя цифра произведения будет равна последней цифре суммы \(10AD + 10BC + BD\). Найдем последнюю цифру каждого слагаемого:

\[
\begin{align*}
10AD & : \text{последняя цифра равна } 0 \cdot D = 0 \\
10BC & : \text{последняя цифра равна } 0 \cdot C = 0 \\
BD & : \text{последняя цифра равна } B \cdot D
\end{align*}
\]

6. Посмотрим на полученное выражение:

\[
0 + 0 + (B \cdot D)
\]

7. Заметим, что при умножении любого числа на 0, получается 0. Таким образом, в сумме первые два слагаемых дадут 0. Остается только последнее слагаемое \(B \cdot D\), которое дает нам последнюю цифру произведения двузначных чисел.

8. Анализируем возможные случаи для \(B \cdot D\). Чтобы последняя цифра произведения равнялась \(E\), нужно, чтобы \(B \cdot D = E\). Рассмотрим все возможные значения \(B\) и \(D\) от 0 до 9 и найдем подходящие пары:

\[
\begin{align*}
B = 0, D = E \\
B = 1, D = E \\
B = 2, D = E \\
B = 3, D = E \\
B = 4, D = E \\
B = 5, D = E \\
B = 6, D = E \\
B = 7, D = E \\
B = 8, D = E \\
B = 9, D = E \\
\end{align*}
\]

9. Полученные пары \(B\) и \(D\) являются возможными числами для нашего исходного условия.

Таким образом, произведение двух двузначных чисел будет иметь последнюю цифру \(E\), где \(E\) - любое число от 0 до 9, если последние цифры обоих чисел образуют пару \(B\) и \(D\), где \(B\) и \(D\) - числа от 0 до 9.