Какое отношение 1/2, где 1 - длина свободного пробега при исходной температуре, а 2 - длина свободного пробега

Для решения данной задачи нам необходимо выразить длину свободного пробега через другие параметры и затем вычислить отношение \(\frac{\lambda_1}{\lambda_2}\).

Длина свободного пробега молекул газа можно выразить по следующей формуле:

\[\lambda = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot n \cdot \sigma^2}\]

Где:
\(\lambda\) - длина свободного пробега,
\(n\) - концентрация молекул газа,
\(\sigma\) - эффективный диаметр молекул.

Мы знаем, что расчет проводится при неизменном давлении и эффективном диаметре молекул. Поэтому эти параметры можно считать постоянными.

Исходя из условия задачи, нам нужно рассмотреть две температуры: исходную температуру \(T\) и уменьшенную в 5 раз температуру \(\frac{T}{5}\).

При известной температуре связь между концентрацией молекул \(n\) и температурой \(T\) задается уравнением:

\[n \cdot T = \text{const}\]

Также, из уравнения состояния идеального газа следует:

\[PV = nRT\]

Где:
\(P\) - давление,
\(V\) - объем,
\(R\) - универсальная газовая постоянная.

Поскольку давление и объем считаются постоянными в данной задаче, то мы можем записать:

\[n_1 \cdot T_1 = n_2 \cdot T_2\]

где:
\(n_1\) и \(T_1\) - концентрация и исходная температура,
\(n_2\) и \(T_2\) - концентрация и уменьшенная в 5 раз температура.

Теперь мы можем выразить концентрацию молекул при изменении температуры:

\[n_2 = \frac{n_1 \cdot T_1}{T_2}\]

Подставляя это значение в формулу для длины свободного пробега, получаем:

\(\lambda_2 = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \frac{n_1 \cdot T_1}{T_2} \cdot \sigma^2}\)

Упростим это выражение:

\(\lambda_2 = \frac{T_2}{\sqrt{2} \cdot n_1 \cdot \sigma^2 \cdot T_1}\)

Аналогично, при исходной температуре:
\(\lambda_1 = \frac{T_1}{\sqrt{2} \cdot n_1 \cdot \sigma^2 \cdot T_1} = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot n_1 \cdot \sigma^2}\)

Теперь мы можем вычислить отношение \(\frac{\lambda_1}{\lambda_2}\):

\(\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{\frac{1}{\sqrt{2} \cdot n_1 \cdot \sigma^2}}{\frac{T_2}{\sqrt{2} \cdot n_1 \cdot \sigma^2 \cdot T_1}}\)

Делая необходимые сокращения, получаем:

\(\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{1}{T_2} \cdot \frac{\sqrt{2} \cdot n_1 \cdot \sigma^2 \cdot T_1}{1}\)

С учетом того, что \(T_2 = \frac{T_1}{5}\):

\(\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{1}{\frac{T_1}{5}} \cdot \frac{\sqrt{2} \cdot n_1 \cdot \sigma^2 \cdot T_1}{1} = 5 \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{\sigma^2 \cdot n_1 \cdot T_1}{T_1}\)

Сокращаем \(T_1\) и получаем:

\(\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = 5 \cdot \sqrt{2} \cdot \sigma^2 \cdot n_1\)

Теперь мы можем сравнить полученное выражение с вариантами ответов:

а) 4;
б) 3;
в) 0,333;
г) 5;
д) 0,20

Мы видим, что правильным ответом является г) 5.

Таким образом, отношение \(\frac{\lambda_1}{\lambda_2}\) равно 5.