Какое наименьшее значение принимает функция y=66tgx-132x+33П+7 на интервале (-П/3;П/3)?

Для начала, давайте разберемся с задачей и нашей функцией. У нас есть функция \(y = 66 \tg x - 132x + 33\П + 7\), и нам нужно найти ее минимальное значение на интервале \(-\frac{\П}{3}\) до \(\frac{\П}{3}\).

Для начала, давайте определим область определения нашей функции. Тангенс является тригонометрической функцией, и мы знаем, что область допустимых значений для тангенса ограничена интервалом \(-\frac{\П}{2}\) до \(\frac{\П}{2}\). В нашей задаче, у нас имеется ограничение, что \(x\) находится в интервале \(-\frac{\П}{3}\) до \(\frac{\П}{3}\). Объединяя эти два интервала, мы получаем, что наша функция определена на интервале \(-\frac{\П}{3}\) до \(\frac{\П}{3}\).

Теперь, чтобы найти минимальное значение нашей функции на данном интервале, нам нужно найти точку, в которой функция достигает своего минимума. Для этого мы можем применить производную.

Сначала возьмем производную функции \(y\) по переменной \(x\):

\[
\frac{dy}{dx} = 66 \sec^2 x - 132
\]

Здесь мы использовали свойство производной тангенса, которая равна квадрату секанса. Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение:

\[
66 \sec^2 x - 132 = 0
\]

Делим обе части на 66:

\[
\sec^2 x - 2 = 0
\]

Теперь, чтобы решить это уравнение, мы можем заметить, что \(\sec^2 x = 1 + \tan^2 x\). Заменяем и решаем:

\[
1 + \tan^2 x - 2 = 0
\]

\[
\tan^2 x - 1 = 0
\]

Факторизуем это уравнение:

\[
(\tan x - 1)(\tan x + 1) = 0
\]

Теперь, чтобы найти значения \(x\), которые удовлетворяют уравнению, мы решаем каждую скобку равенства отдельно:

\[
\tan x - 1 = 0 \quad \text{или} \quad \tan x + 1 = 0
\]

Для первого случая:

\[
\tan x - 1 = 0
\]

\[
\tan x = 1
\]

Теперь находим значение \(x\) из интервала \(-\frac{\П}{3}\) до \(\frac{\П}{3}\), удовлетворяющее этому уравнению. Как мы знаем, \(\tan x\) равно 1 при \(x = \frac{\П}{4}\). Однако, этот \(x\) не попадает в наш интервал, поэтому мы будем искать другое решение.

Для второго случая:

\[
\tan x + 1 = 0
\]

\[
\tan x = -1
\]

Опять же, находим значение \(x\), удовлетворяющее этому уравнению. Мы знаем, что \(\tan x\) равно -1 при \(x = -\frac{\П}{4}\), и это значение \(x\) попадает в наш интервал \(-\frac{\П}{3}\) до \(\frac{\П}{3}\).

Теперь, чтобы найти минимальное значение нашей функции, мы должны подставить найденное значение \(x = -\frac{\П}{4}\) обратно в исходную функцию \(y\):

\[
y = 66 \tg \left(-\frac{\П}{4}\right) - 132 \left(-\frac{\П}{4}\right) + 33\П + 7
\]

\[
y = 66 \cdot (-1) - 132 \cdot \left(-\frac{\П}{4}\right) + 33\П + 7
\]

\[
y = -66 + 33\П + 33\П + 7
\]

\[
y = 66\П - 59
\]

Таким образом, наименьшее значение нашей функции на интервале \(-\frac{\П}{3}\) до \(\frac{\П}{3}\) равно \(66\П - 59\).